Verifique se a função f(x, y)=3 x^2+y^2-12 x-8 y+3 possui ponto de mínimo, máximo ou de sela. Justifique.

Passo 1

Temos a função $f(x,y)=3x2+y2-12x-8y+3$. O objetivo é determinar se a função possui ponto crítico do tipo mínimo, máximo ou sela usando derivadas parciais e análise da Hessiana.

Passo 2

As derivadas parciais são $f_x = 6x - 12$ e $f_y = 2y - 8$. Igualando a zero, $f_x=0$ leva a $x=2$ e $f_y=0$ leva a $y=4$, logo o ponto crítico é (2,4).

Passo 3

As segundas derivadas são $f_{xx}=6$, $f_{yy}=2$ e $f_{xy}=0$. O determinante principal $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 6\cdot2 - 0 = 12 > 0$ e $f_{xx} > 0$, logo a Hessiana é definida positiva. Assim, (2,4) é ponto de mínimo local e, por f ser quadrática, mínimo global.

Passo 4

Calculando o valor da função em (2,4), temos $f(2,4)=3\cdot22+42-12\cdot2-8\cdot4+3=-25$, confirmando que -25 é o valor mínimo de f.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo global em (2,4) com valor $f(2,4)=-25$.

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