Exercício 5. Calcule o gradiente da função (nabla f) no ponto dado:
f(x, y)=ln (y^2-x), ponto (0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função $ f(x, y) = \ln(y^{2} - x) $ no ponto $ (0, 1) $. O gradiente é um conceito de cálculo que nos dá uma ideia de como a função está mudando em cada direção naquele ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
f(x, y)
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é $ f(x, y) = \ln(y^{2} - x) $.
Usando a regra da cadeia, a derivada da função logarítmica é:
f

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Novamente, usando a regra da cadeia:
f

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:
nabla f = ( -1y^2 - x, 2yy^2 - x )

Passo 6

Vamos agora substituir o ponto $ (0, 1) $ nas expressões das derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto.
Para $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
(0, 1)
Então,
x = 0
y = 1

Resposta

O gradiente da função no ponto $ (0, 1) $ é $ \nabla f = (-1, 2) $.

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