Exercício 5. Calcule o gradiente da função
no ponto dado:
, ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função $ f(x, y) = \ln(y^{2} - x) $ no ponto $ (0, 1) $. O gradiente é um conceito de cálculo que nos dá uma ideia de como a função está mudando em cada direção naquele ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, é um vetor que contém as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja,
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função é $ f(x, y) = \ln(y^{2} - x) $.
Usando a regra da cadeia, a derivada da função logarítmica é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Novamente, usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:
Passo 6
Vamos agora substituir o ponto $ (0, 1) $ nas expressões das derivadas parciais para encontrar o gradiente naquele ponto.
Para $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
Então,
Resposta
O gradiente da função no ponto $ (0, 1) $ é $ \nabla f = (-1, 2) $.