Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(e) g(x)=|x| definida em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede: “Para a função g(x)=|x| definida em \mathbb{R}, determine todos os pontos críticos no domínio.”
Informações dadas:
  • A função é g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por g(x)=|x|.
  • O domínio é \mathbb{R}.
    Pergunta clara: quais pontos x\in\mathbb{R} são pontos críticos de g?

Passo 2

O que é ponto crítico (lembrete didático e prático): um ponto a do domínio de uma função é chamado de ponto crítico se, naquele ponto, ou a derivada existe e vale zero, ou a derivada não existe. Em fórmula:
\text{a é ponto crítico se } a\in\text{dom}(g)\\ \text{e}\\ \big(g'(a)=0\\ \text{ou}\\ g'(a)\\ \text{não existe}\big).éíã
Também lembre a definição de derivada num ponto a:
g'(a)=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h},
quando esse limite existe.

Passo 3

É útil escrever |x|\) como função peça a peça para poder derivar: \[g(x)=|x|=\begin{cases} x, & x>0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Para x\neq0\] podemos usar as fórmulas simples \(g(x)=x (para x>0) e g(x)=-x (para x<0).]

Passo 4

Derivada para x>0 e para x<0: como g é linear em cada ramo, suas derivadas são as derivadas das funções lineares.
Para x>0:
g(x)=x \implies g'(x)=1.
Para x<0:
g(x)=-x \implies g'(x)=-1.
Portanto, para todo x\neq0 a derivada existe e vale \,1 (se x>0) ou -1 (se x<0). Em particular, nunca é 0 quando x\neq0.

Passo 5

Derivada em x=0: usar a definição com limites laterais.
Cálculo da derivada à direita ( h\to0^+):
\lim_{h\to0^+}\frac{g(0+h)-g(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1.
Cálculo da derivada à esquerda ( h\to0^-):
\lim_{h\to0^-}\frac{g(0+h)-g(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1.
As derivadas laterais não são iguais ( 1\neq-1), logo o limite total não existe e g'(0) não existe.

Passo 6

Aplicando a definição de ponto crítico: pontos críticos são pontos do domínio onde g'(x)=0 ou g'(x) não existe. Vimos que:
  • Para x\neq0 a derivada existe e é \pm1, portanto não vale 0 e não é indefinida → esses pontos não são críticos.
  • Em x=0 a derivada não existe → portanto x=0 é um ponto crítico.
    Observação extra (útil na prova): geometricamente g tem um “canto” (cúspide) em 0, e 0 é também o mínimo global de g.

Resposta

\{0\}

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