Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(e)
definida em
(e)
Passo 1
O enunciado pede: “Para a função
definida em
, determine todos os pontos críticos no domínio.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
dada por . - O domínio é
.
Pergunta clara: quais pontossão pontos críticos de ?
Passo 2
O que é ponto crítico (lembrete didático e prático): um ponto
do domínio de uma função é chamado de ponto crítico se, naquele ponto, ou a derivada existe e vale zero, ou a derivada não existe. Em fórmula:
Também lembre a definição de derivada num ponto
:
quando esse limite existe.
Passo 3
É útil escrever
Para
(para
) e
(para
).]
Passo 4
Derivada para
e para
: como
é linear em cada ramo, suas derivadas são as derivadas das funções lineares.
Para :
Para
Para
:
Portanto, para todo
a derivada existe e vale
(se
) ou
(se
). Em particular, nunca é
quando
.
Passo 5
Derivada em
: usar a definição com limites laterais.
Cálculo da derivada à direita ( ):
Cálculo da derivada à direita (
Cálculo da derivada à esquerda (
):
As derivadas laterais não são iguais (
), logo o limite total não existe e
não existe.
Passo 6
Aplicando a definição de ponto crítico: pontos críticos são pontos do domínio onde
ou
não existe. Vimos que:
- Para
a derivada existe e é , portanto não vale e não é indefinida → esses pontos não são críticos. - Em
a derivada não existe → portanto é um ponto crítico.
Observação extra (útil na prova): geometricamentetem um “canto” (cúspide) em , e é também o mínimo global de .