Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(d) f(x)=x^{2 / 3} definida em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede: “Para a função f(x)=x^{2/3} definida em \mathbb{R}, determine todos os pontos críticos no domínio dado.”
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2/3}.
  • O domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é, \mathbb{R}.
  • A única pergunta é: quais são todos os pontos críticos de f em \mathbb{R}.

Passo 2

Definição (essencial para a prova, memoriza que vale sempre): um ponto x_0 do domínio de f é ponto crítico se, e somente se, uma das duas coisas acontece:
\text{(i)}\quad f'(x_0)=0,\qquad\text{ou}\qquad \text{(ii)}\quad f'(x_0)\\ \text{não existe}.ã
Importante: o ponto só conta se estiver no domínio da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada para x\neq0. Usamos a regra da potência: se g(x)=x^{m} com m real, então
g'(x)=m x^{m-1},
válido para x\neq0 quando m-1 pode gerar potência negativa. Aplicando com m=\tfrac{2}{3} obtemos, para x\neq0,
f'(x)=\frac{2}{3}x^{\tfrac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Explicando as partes: o fator \tfrac{2}{3} vem do expoente; x^{-1/3} é a potência resultante. Essa expressão está bem definida para todo x\neq0.

Passo 4

Verificamos se existe x\neq0 com f'(x)=0. Da expressão encontrada,
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
O fator \tfrac{2}{3} é diferente de zero, e x^{-1/3} também é diferente de zero para qualquer x\neq0. Logo, não há nenhum x\neq0 tal que f'(x)=0. Portanto não existem pontos críticos do tipo (i) fora de zero.

Passo 5

Agora verificamos se f' existe em x=0. Precisamos calcular o limite do quociente incremental:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2/3}-0}{h}=\frac{h^{2/3}}{h}=h^{-1/3},
quando h\to0. Observe os dois lados:
  • Para h\to0^+ temos h^{-1/3}\to+\infty.
  • Para h\to0^- temos h^{-1/3}=(\text{negativo})\to-\infty.
    Portanto o limite não existe (de fato diverge com sinais opostos), e assim f'(0) não existe. Como 0 pertence ao domínio \mathbb{R} e a derivada não existe aí, 0 é um ponto crítico pelo caso (ii).

Passo 6

Resumo interpretativo (para decorar e usar na prova): a função x^{2/3} tem uma “pontinha” ou cusp em x=0 — a tangente vertical — por isso a derivada explode e não existe em 0. Em todos os outros pontos a derivada existe e é diferente de zero, então não são críticos. Um exemplo análogo que ajuda a lembrar: f(x)=|x| também não é diferenciável em 0 e por isso 0 é ponto crítico.

Resposta

x=0

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