Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(d)
definida em
(d)
Passo 1
O enunciado pede: “Para a função
definida em
, determine todos os pontos críticos no domínio dado.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio é todo o conjunto dos números reais, isto é,
. - A única pergunta é: quais são todos os pontos críticos de
em .
Passo 2
Definição (essencial para a prova, memoriza que vale sempre): um ponto
do domínio de
é ponto crítico se, e somente se, uma das duas coisas acontece:
Importante: o ponto só conta se estiver no domínio da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada para
. Usamos a regra da potência: se
com
real, então
válido para
quando
pode gerar potência negativa. Aplicando com
obtemos, para
,
Explicando as partes: o fator
vem do expoente;
é a potência resultante. Essa expressão está bem definida para todo
.
Passo 4
Verificamos se existe
com
. Da expressão encontrada,
O fator
é diferente de zero, e
também é diferente de zero para qualquer
. Logo, não há nenhum
tal que
. Portanto não existem pontos críticos do tipo (i) fora de zero.
Passo 5
Agora verificamos se
existe em
. Precisamos calcular o limite do quociente incremental:
quando
. Observe os dois lados:
- Para
temos . - Para
temos .
Portanto o limite não existe (de fato diverge com sinais opostos), e assimnão existe. Como pertence ao domínio e a derivada não existe aí, é um ponto crítico pelo caso (ii).
Passo 6
Resumo interpretativo (para decorar e usar na prova): a função
tem uma “pontinha” ou cusp em
— a tangente vertical — por isso a derivada explode e não existe em
. Em todos os outros pontos a derivada existe e é diferente de zero, então não são críticos. Um exemplo análogo que ajuda a lembrar:
também não é diferenciável em
e por isso
é ponto crítico.