Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(c)
definida em
(c)
Passo 1
O enunciado pede: para a função
com domínio
, determinar todos os pontos críticos no domínio dado.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O domínio é
(ou seja, todos os reais exceto ).
O que é pedido explicitamente:
- Encontrar todos os pontos
do domínio onde tem derivada zero ou onde a derivada não existe (esses são os pontos críticos, lembrando que só contamos pontos que pertencem ao domínio).
Passo 2
Definição importante (para entender o que vamos procurar): um ponto crítico de uma função diferenciável é um ponto no domínio onde a derivada é zero. Mais geralmente, um ponto crítico é qualquer
no domínio tal que:
Mas atenção: se a derivada não existe em um ponto que NÃO pertence ao domínio da função, esse ponto não é considerado crítico (pois só consideramos pontos do domínio). Então vamos calcular
em todos os
e procurar onde ela é zero; também verificaremos se existe alguma
em que
não exista.
Passo 3
Para derivar
há duas opções: usar a regra do quociente direta ou simplificar a expressão antes de derivar. Vou simplificar porque deixa as contas mais limpas e é uma técnica útil na prova.
Fazendo a divisão polinomial (ou observando que
), podemos escrever:
Dividindo por
,
Portanto podemos reescrever
Passo 4
Agora derivamos termo a termo (isso é válido para
):
- A derivada de
é . - A derivada de
é (porque ).
Assim:
Colocando em um único quociente para facilitar a resolução:
Expandindo o numerador:
Logo
Observação: o denominador
é sempre positivo para
, então a derivada existe para todo
(não há outro ponto do domínio onde
deixe de existir).
Passo 5
Procuramos agora pontos críticos:
- Zeros da derivada: resolver
equivale a resolver o numerador .
Isso dá as soluçõesAmbos pertencem ao domínio ( e ), logo são candidatos a pontos críticos. - Pontos onde a derivada não existe: aqui
só poderia não existir quando o denominador , isto é em . Mas não pertence ao domínio de , então não é contado como ponto crítico da função (pois pontos críticos precisam estar no domínio).
Conclusão parcial: os únicos pontos críticos possíveis no domínio são
e
.
Passo 6
Vou classificar rapidamente esses pontos críticos usando o teste do sinal da derivada (primeira derivada), que é prático e costuma ser pedido em provas: como o denominador
para todo
, o sinal de
é o mesmo do sinal do produto
. Estudamos os três intervalos determinados pelas raízes
e
(lembrando de excluir
):
- Para
: e ⇒ ⇒ . Logo está crescente em . - Para
: e ⇒ ⇒ . Como está entre e , o trecho se divide em e , e em ambos temos , ou seja, está decrescente em e em . - Para
: e ⇒ ⇒ . Logo está crescente em .
Com isso:
- Em
a derivada troca de positiva (à esquerda) para negativa (à direita): é um máximo local. - Em
a derivada troca de negativa (à esquerda) para positiva (à direita): é um mínimo local.
Valores da função nesses pontos (úteis para a prova):
Nota final:
é uma assíntota vertical (função não definida), não é ponto crítico por não pertencer ao domínio.