Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(c) h(x)=\frac{x^{2}}{x-1} definida em \mathbb{R} \backslash\{1\}

Passo 1

O enunciado pede: para a função \,h(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}\, com domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}, determinar todos os pontos críticos no domínio dado.
Informações fornecidas:
  • A função é \,h(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}\,.
  • O domínio é \mathbb{R}\setminus\{1\} (ou seja, todos os reais exceto 1).
O que é pedido explicitamente:
  • Encontrar todos os pontos x do domínio onde h tem derivada zero ou onde a derivada não existe (esses são os pontos críticos, lembrando que só contamos pontos que pertencem ao domínio).

Passo 2

Definição importante (para entender o que vamos procurar): um ponto crítico de uma função diferenciável é um ponto no domínio onde a derivada é zero. Mais geralmente, um ponto crítico é qualquer x no domínio tal que:
\text{ou } h'(x)=0,\quad\text{ou } h'(x)\\ \text{não existe.}ã
Mas atenção: se a derivada não existe em um ponto que NÃO pertence ao domínio da função, esse ponto não é considerado crítico (pois só consideramos pontos do domínio). Então vamos calcular h'(x) em todos os x\neq1 e procurar onde ela é zero; também verificaremos se existe alguma x\neq1 em que h' não exista.

Passo 3

Para derivar \,h(x)=\dfrac{x^{2}}{x-1}\, há duas opções: usar a regra do quociente direta ou simplificar a expressão antes de derivar. Vou simplificar porque deixa as contas mais limpas e é uma técnica útil na prova.
Fazendo a divisão polinomial (ou observando que (x-1)(x+1)=x^{2}-1), podemos escrever:
x^{2}=(x-1)(x+1)+1.
Dividindo por x-1,
\frac{x^{2}}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}.
Portanto podemos reescrever
h(x)=x+1+\frac{1}{x-1},\qquad x\neq1.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo (isso é válido para x\neq1):
  • A derivada de x+1 é 1.
  • A derivada de \dfrac{1}{x-1} é -\dfrac{1}{(x-1)^{2}} (porque \dfrac{d}{dx}\big((x-1)^{-1}\big)=-1\cdot(x-1)^{-2}\cdot1).
Assim:
h'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^{2}},\qquad x\neq1.
Colocando em um único quociente para facilitar a resolução:
h'(x)=\frac{(x-1)^{2}-1}{(x-1)^{2}}.
Expandindo o numerador:
(x-1)^{2}-1 = x^{2}-2x+1-1 = x^{2}-2x = x(x-2).
Logo
h'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}},\qquad x\neq1.
Observação: o denominador (x-1)^{2} é sempre positivo para x\neq1, então a derivada existe para todo x\neq1 (não há outro ponto do domínio onde h' deixe de existir).

Passo 5

Procuramos agora pontos críticos:
  • Zeros da derivada: resolver \,h'(x)=0\, equivale a resolver o numerador x(x-2)=0.
    Isso dá as soluções x=0\quad\text{ou}\quad x=2.Ambos pertencem ao domínio ( 0\neq1 e 2\neq1), logo são candidatos a pontos críticos.
  • Pontos onde a derivada não existe: aqui h'(x) só poderia não existir quando o denominador (x-1)^{2}=0, isto é em x=1. Mas x=1 não pertence ao domínio de h, então não é contado como ponto crítico da função (pois pontos críticos precisam estar no domínio).
Conclusão parcial: os únicos pontos críticos possíveis no domínio são x=0 e x=2.

Passo 6

Vou classificar rapidamente esses pontos críticos usando o teste do sinal da derivada (primeira derivada), que é prático e costuma ser pedido em provas: como o denominador (x-1)^{2}>0 para todo x\neq1, o sinal de h'(x) é o mesmo do sinal do produto x(x-2). Estudamos os três intervalos determinados pelas raízes 0 e 2 (lembrando de excluir 1):
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 x(x-2)>0 h'(x)>0. Logo h está crescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 x(x-2)<0 h'(x)<0. Como 1 está entre 0 e 2, o trecho 0<x<2 se divide em (0,1) e (1,2), e em ambos temos h'(x)<0, ou seja, h está decrescente em (0,1) e em (1,2).
  • Para x>2: x>0 e x-2>0 x(x-2)>0 h'(x)>0. Logo h está crescente em (2,\infty).
Com isso:
  • Em x=0 a derivada troca de positiva (à esquerda) para negativa (à direita): é um máximo local.
  • Em x=2 a derivada troca de negativa (à esquerda) para positiva (à direita): é um mínimo local.
Valores da função nesses pontos (úteis para a prova):
h(0)=\frac{0^{2}}{0-1}=0, \qquad h(2)=\frac{2^{2}}{2-1}=4.
Nota final: x=1 é uma assíntota vertical (função não definida), não é ponto crítico por não pertencer ao domínio.

Resposta

x=0 (ponto crítico; máximo local; h(0)=0)
x=2 (ponto crítico; mínimo local; h(2)=4)

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