Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(h) g(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) definida em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado fornece a função g definida por
g(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)
com domínio \mathbb{R}, e pede para determinar todos os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por g(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
  • Domínio: todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
  • O que se pede: localizar os pontos críticos no domínio.

Passo 2

Definição prática de ponto crítico (explicada devagarinho): um ponto x_0 do domínio é crítico se, em x_0,
  1. a derivada g'(x_0) existe e é igual a 0, ou
  2. a derivada g'(x_0) não existe.
Portanto, para encontrar os pontos críticos devemos:
  • calcular g'(x),
  • resolver g'(x)=0,
  • verificar se existe algum x no domínio em que g'(x) não esteja definida.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de g. Use a regra da cadeia e a fórmula da derivada do logaritmo natural:
  • se h(x)=\ln(u(x)), então h'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
    Aqui u(x)=x^{2}+1. Logo:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
Aplicando a fórmula,
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
(Isto é a derivada em toda a reta.)

Passo 4

Resolver g'(x)=0. Uma fração \dfrac{2x}{x^{2}+1} é zero exatamente quando o numerador é zero (desde que o denominador seja finito e não zero). Assim:
\frac{2x}{x^{2}+1}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0.
Devemos verificar se x=0 pertence ao domínio: sim, pois o domínio é \mathbb{R}.

Passo 5

Verificar pontos onde g'(x) não existe. A expressão g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1} não está definida quando o denominador é zero. Mas
x^{2}+1\ge 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
logo x^{2}+1 nunca é zero. Portanto g'(x) existe para todo x\in\mathbb{R}. Não há pontos onde a derivada deixa de existir.

Passo 6

Conclusão sobre pontos críticos: o único x do domínio que satisfaz g'(x)=0 é x=0, e não existem pontos onde a derivada seja indefinida. Assim o conjunto de pontos críticos é \{0\}.

Passo 7

(classificação do ponto crítico — extra, útil para prova) Para saber se x=0 é mínimo, máximo ou ponto de sela, podemos usar a segunda derivada. Calculemos g''(x) diferenciando g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}. Usando a regra do quociente:
g''(x)=\frac{2(x^{2}+1)-2x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2\bigl(x^{2}+1-2x^{2}\bigr)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.
Em x=0,
g''(0)=\frac{2(1-0)}{(0+1)^{2}}=2>0,
portanto x=0 é um mínimo local. Além disso, note que x^{2}+1\ge 1 para todo x, então \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\ge \ln(1)=0, com igualdade apenas em x=0. Isso mostra que x=0 é, na verdade, o mínimo global da função, com valor mínimo g(0)=0.

Resposta

x=0

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