Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(h)
definida em
(h)
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
com domínio
, e pede para determinar todos os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
dada por . - Domínio: todo o conjunto dos números reais
. - O que se pede: localizar os pontos críticos no domínio.
Passo 2
Definição prática de ponto crítico (explicada devagarinho): um ponto
do domínio é crítico se, em
,
- a derivada
existe e é igual a , ou - a derivada
não existe.
Portanto, para encontrar os pontos críticos devemos:
- calcular
, - resolver
, - verificar se existe algum
no domínio em que não esteja definida.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Use a regra da cadeia e a fórmula da derivada do logaritmo natural:
- se
, então .
Aqui. Logo:
Aplicando a fórmula,
(Isto é a derivada em toda a reta.)
Passo 4
Resolver
. Uma fração
é zero exatamente quando o numerador é zero (desde que o denominador seja finito e não zero). Assim:
Devemos verificar se
pertence ao domínio: sim, pois o domínio é
.
Passo 5
Verificar pontos onde
não existe. A expressão
não está definida quando o denominador é zero. Mas
logo
nunca é zero. Portanto
existe para todo
. Não há pontos onde a derivada deixa de existir.
Passo 6
Conclusão sobre pontos críticos: o único
do domínio que satisfaz
é
, e não existem pontos onde a derivada seja indefinida. Assim o conjunto de pontos críticos é
.
Passo 7
(classificação do ponto crítico — extra, útil para prova) Para saber se
é mínimo, máximo ou ponto de sela, podemos usar a segunda derivada. Calculemos
diferenciando
. Usando a regra do quociente:
Em
,
portanto
é um mínimo local. Além disso, note que
para todo
, então
, com igualdade apenas em
. Isso mostra que
é, na verdade, o mínimo global da função, com valor mínimo
.