Responda os itens seguintes:
(b) Se f^{\prime}\text{(c)}=0, então f necessariamente tem um extremo local em x=c ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a condição f'\text{(c)}=0 e pergunta se, sob essa condição, f necessariamente tem um extremo local em x=c.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é diferenciável em x=c (implícito por existir f'\text{(c)}).
  • A pergunta: “Se f'\text{(c)}=0, então f necessariamente tem um extremo local em x=c ? Justifique.”

Passo 2

Definição clara do que é extremo local (para não ter dúvida na prova).
  • Dizemos que f tem um máximo local em x=c se existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-c|<\delta, vale f(x)\le f\text{(c)}.
  • Dizemos que f tem um mínimo local em x=c se existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-c|<\delta, vale f(x)\ge f\text{(c)}.
  • Extremo local significa máximo local ou mínimo local.

Passo 3

Uma observação importante (útil na prova): se f tem extremo local em c e f é diferenciável em c, então necessariamente f'\text{(c)}=0. Vou mostrar uma demonstração curta e didática dessa implicação, porque é o “lado fácil” do problema.
Suponha que f tem um máximo local em c. Então existe \delta>0 tal que, para 0<h<\delta,
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\le 0
porque f(c+h)\le f\text{(c)} e h>0. Para 0>h>-\delta,
\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}\ge 0
porque agora h<0 e ainda f(c+h)\le f\text{(c)}. Tomando limites dos quocientes das diferenças quando h\to 0^+ e h\to 0^-, obtemos as derivadas laterais que devem satisfazer
f'_+\text{(c)}\le 0\quad\text{e}\quad f'_-\text{(c)}\ge 0.
Se f é diferenciável em c, as duas derivadas laterais coincidem: f'_+\text{(c)}=f'_-\text{(c)}=f'\text{(c)}. Assim f'\text{(c)}\le0 e f'\text{(c)}\ge0 ao mesmo tempo, daí f'\text{(c)}=0.
(O mesmo raciocínio funciona para mínimo local, trocando os sinais.)
Conclusão: extremo local \Rightarrow f'\text{(c)}=0. Porém essa implicação não responde a pergunta inversa; precisamos analisar o converso.

Passo 4

Resposta à pergunta principal: não, f'\text{(c)}=0 não implica necessariamente que f tenha um extremo local em c. A melhor forma de justificar é dar um contraexemplo simples e explicar por que funciona.
Considere a função
f(x)=x^3.
Calculando a derivada:
f'(x)=3x^2,
logo
f'(0)=3\cdot 0^2=0.
Então f'(0)=0. Agora verifique se x=0 é extremo local. Para x>0 pequeno, f(x)=x^3>0=f(0). Para x<0 pequeno, f(x)=x^3<0=f(0). Ou seja, existem pontos arbitrariamente próximos de 0 onde f(x) é maior que f(0) e outros onde f(x) é menor que f(0). Portanto não existe \delta>0 que faça toda vizinhança (c-\delta,c+\delta) ter f(x)\le f(0) (máximo) nem f(x)\ge f(0) (mínimo). Conclusão: 0 não é ponto de extremo local, apesar de f'(0)=0. Esse é o contraexemplo clássico que responde a pergunta.

Passo 5

Explicação didática do porquê isso acontece (como reconhecer em prova): ter f'\text{(c)}=0 apenas diz que a taxa de variação instantânea é zero naquele ponto; isso é uma condição necessária para um extremo local, mas não suficiente. Para garantir um extremo local é preciso informação adicional sobre o comportamento de f em torno de c. Dois critérios práticos usados em provas:
  • Teste da primeira derivada (teste de sinal): se f'(x) muda de positivo para negativo ao atravessar c, então f tem máximo local em c. Se f'(x) muda de negativo para positivo, então f tem mínimo local. Se não há mudança de sinal, então não há extremo. No exemplo f(x)=x^3, temos f'(x)=3x^2>0 para x\ne0, logo o sinal não muda em 0 e não há extremo.
  • Teste da segunda derivada (quando existe): se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}>0, então f tem mínimo local em c; se f''\text{(c)}<0, então tem máximo local; se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo (pode haver extremo ou não). No exemplo f(x)=x^3, f''(x)=6x e f''(0)=0, então o segundo teste é inconclusivo — e de fato não há extremo.

Passo 6

Dica prática para a prova (passos a seguir quando encontrar f'\text{(c)}=0):
  1. Liste os pontos críticos onde f'(x)=0 ou f' não existe.
  2. Use o teste da primeira derivada: verifique o sinal de f' à esquerda e à direita de cada ponto crítico. Isso costuma ser o método mais direto e confiável em provas sem calculadora.
  3. Como atalho, se a segunda derivada existir, calcule f''\text{(c)} e use o teste da segunda derivada (cuidado: se f''\text{(c)}=0, voltar ao teste da primeira derivada ou usar análise mais refinada).
  4. Lembre-se: encontrar f'\text{(c)}=0 é só o começo; é necessário estudar vizinhança de c para concluir se há extremo.

Resposta

Não. Por exemplo, f(x)=x^3 tem f'(0)=0 mas 0 não é um extremo local (há valores maiores e menores que f(0) arbitrariamente próximos de 0).

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