Responda os itens seguintes:
(b) Se
, então
necessariamente tem um extremo local em
? Justifique.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá a condição
e pergunta se, sob essa condição,
necessariamente tem um extremo local em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é diferenciável em (implícito por existir ). - A pergunta: “Se
, então necessariamente tem um extremo local em ? Justifique.”
Passo 2
Definição clara do que é extremo local (para não ter dúvida na prova).
- Dizemos que
tem um máximo local em se existe tal que, para todo com , vale . - Dizemos que
tem um mínimo local em se existe tal que, para todo com , vale . - Extremo local significa máximo local ou mínimo local.
Passo 3
Uma observação importante (útil na prova): se
tem extremo local em
e
é diferenciável em
, então necessariamente
. Vou mostrar uma demonstração curta e didática dessa implicação, porque é o “lado fácil” do problema.
Suponha que tem um máximo local em
. Então existe
tal que, para
,
Suponha que
porque
e
. Para
,
porque agora
e ainda
. Tomando limites dos quocientes das diferenças quando
e
, obtemos as derivadas laterais que devem satisfazer
Se
é diferenciável em
, as duas derivadas laterais coincidem:
. Assim
e
ao mesmo tempo, daí
.
(O mesmo raciocínio funciona para mínimo local, trocando os sinais.)
Conclusão: extremo local . Porém essa implicação não responde a pergunta inversa; precisamos analisar o converso.
(O mesmo raciocínio funciona para mínimo local, trocando os sinais.)
Conclusão: extremo local
Passo 4
Resposta à pergunta principal: não,
não implica necessariamente que
tenha um extremo local em
. A melhor forma de justificar é dar um contraexemplo simples e explicar por que funciona.
Considere a função
Considere a função
Calculando a derivada:
logo
Então
. Agora verifique se
é extremo local. Para
pequeno,
. Para
pequeno,
. Ou seja, existem pontos arbitrariamente próximos de
onde
é maior que
e outros onde
é menor que
. Portanto não existe
que faça toda vizinhança
ter
(máximo) nem
(mínimo). Conclusão:
não é ponto de extremo local, apesar de
. Esse é o contraexemplo clássico que responde a pergunta.
Passo 5
Explicação didática do porquê isso acontece (como reconhecer em prova): ter
apenas diz que a taxa de variação instantânea é zero naquele ponto; isso é uma condição necessária para um extremo local, mas não suficiente. Para garantir um extremo local é preciso informação adicional sobre o comportamento de
em torno de
. Dois critérios práticos usados em provas:
- Teste da primeira derivada (teste de sinal): se
muda de positivo para negativo ao atravessar , então tem máximo local em . Se muda de negativo para positivo, então tem mínimo local. Se não há mudança de sinal, então não há extremo. No exemplo , temos para , logo o sinal não muda em e não há extremo. - Teste da segunda derivada (quando existe): se
e , então tem mínimo local em ; se , então tem máximo local; se , o teste é inconclusivo (pode haver extremo ou não). No exemplo , e , então o segundo teste é inconclusivo — e de fato não há extremo.
Passo 6
Dica prática para a prova (passos a seguir quando encontrar
):
- Liste os pontos críticos onde
ou não existe. - Use o teste da primeira derivada: verifique o sinal de
à esquerda e à direita de cada ponto crítico. Isso costuma ser o método mais direto e confiável em provas sem calculadora. - Como atalho, se a segunda derivada existir, calcule
e use o teste da segunda derivada (cuidado: se , voltar ao teste da primeira derivada ou usar análise mais refinada). - Lembre-se: encontrar
é só o começo; é necessário estudar vizinhança de para concluir se há extremo.
Resposta
Não. Por exemplo,
tem
mas
não é um extremo local (há valores maiores e menores que
arbitrariamente próximos de
).