Para cada função f abaixo, encontre duas funções de iteração \varphi, isto é, funções cujo ponto fixo \bar{x} seja o zero de f.
f(x)=\left(3+x-2 x^{2}\right)^{\frac{1}{4}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o método de ponto fixo para achar as raízes de
f(x) = \bigl(3 + x - 2x^2\bigr)^{1/4}.
Em outras palavras, queremos encontrar duas funções de iteração \varphi(x) tais que, se \bar x é ponto fixo de \varphi, ou seja \varphi(\bar x)=\bar x, então f(\bar x)=0.

Passo 2

Para achar as raízes de f, fazemos
f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(3 + x - 2x^2\bigr)^{1/4}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3 + x - 2x^2 = 0.
Reescrevendo em forma padrão:
2x^2 - x - 3 = 0.

Passo 3

Uma forma de obter \varphi(x) é isolar x^2. De
2x^2 = x + 3
temos
x^2 = \frac{x + 3}{2}
e, assumindo o ramo positivo da raiz,
\phi_1(x) = \sqrt{\frac{x + 3}{2}}.
Qualquer ponto fixo \bar x satisfaz
\bar x = \sqrt{\tfrac{\bar x+3}{2}},
que leva de volta à equação 2\bar x^2 - \bar x - 3=0.

Passo 4

Outra rearrumação de
2x^2 - x - 3 = 0
é
2x^2 = x + 3 \;\Longrightarrow\; 2x = \frac{x + 3}{x} \;\Longrightarrow\; x = \frac{x + 3}{2x}.
Logo definimos
\phi_2(x) = \frac{x + 3}{2x}.
Aqui, se \bar x = \phi_2(\bar x), obtemos novamente 2\bar x^2 - \bar x - 3=0.

Resposta

As duas funções de iteração são:
\displaystyle \phi_1(x) = \sqrt{\frac{x + 3}{2}}
\displaystyle \phi_2(x) = \frac{x + 3}{2x}

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