Para cada função f abaixo, encontre duas funções de iteração \varphi, isto é, funções cujo ponto fixo \bar{x} seja o zero de f.
f(x)=\left(\frac{x+3-x^{4}}{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=\Bigl(\frac{x+3 - x^4}{2}\Bigr)^{1/2}
e pede duas funções de iteração \varphi tais que, se \bar x é ponto fixo de \varphi, então f(\bar x)=0. Note que f(\bar x)=0 implica
\frac{\bar x +3 - \bar x^4}{2}=0\;\Longleftrightarrow\;\bar x^4-\bar x-3=0.
Logo qualquer rearranjo dessa equação na forma \bar x=\varphi(\bar x) serve como função de iteração.

Passo 2

Uma escolha imediata é extrair a raiz quadrada já presente em f. Definimos
\phi_1(x)=\sqrt{\frac{x+3 - x^4}{2}}.
Se x=\phi_1(x) então
x^2=\frac{x+3 - x^4}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^4 - x - 3=0,
o que garante f(x)=0. Assim \phi_1 tem exatamente como ponto fixo o zero de f.

Passo 3

De modo análogo, podemos escolher a outra raiz da equação quadrática que surge ao elevar ao quadrado. Definimos
\phi_2(x)=-\sqrt{\frac{x+3 - x^4}{2}}.
Se x=\phi_2(x) então, elevando ao quadrado, obtemos de novo
x^2=\frac{x+3 - x^4}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^4 - x - 3=0
e, portanto, f(x)=0. Logo \phi_2 também tem como ponto fixo a raiz procurada.

Resposta

\phi_1(x)=\sqrt{\frac{x+3 - x^4}{2}},\qquad \phi_2(x)=-\sqrt{\frac{x+3 - x^4}{2}}.

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