Considere o problema de resolver a equação
utilizando o método das aproximações sucessivas. Sabendo que esta equação possui uma única solução no intervalo
, verifique qual das funções de iteração a seguir pode ser utilizada na aplicação do método com garantia de convergência. Justifique sua resposta.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver
no intervalo
usando o método das aproximações sucessivas (iteração de ponto fixo). Para garantir convergência, precisamos que a função de iteração
seja uma contração em
, isto é, satisfaça
para todo
nesse intervalo.
Passo 2
Analisando
:
No intervalo
, temos
.
Logo varia de
a
, sempre acima de
. Portanto,
não é uma contração e não garante convergência.
Logo
Passo 3
Analisando
:
Para
,
varia entre
e
. Logo
, sempre menor que
.
Assim, é uma contração e garante convergência do método.
Assim,
Passo 4
Como apenas
satisfaz
em
, essa é a única iteração com garantia de convergência.
Resposta
(b)