Considere o problema de resolver a equação x+\ln (x)=0 utilizando o método das aproximações sucessivas. Sabendo que esta equação possui uma única solução no intervalo \left[\frac{5}{10}, \frac{6}{10}\right], verifique qual das funções de iteração a seguir pode ser utilizada na aplicação do método com garantia de convergência. Justifique sua resposta.
a) \varphi(x)=-\ln (x)
b) \varphi(x)=e^{-x}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver \,x + \ln(x) = 0 no intervalo \left[\tfrac{5}{10}, \tfrac{6}{10}\right] usando o método das aproximações sucessivas (iteração de ponto fixo). Para garantir convergência, precisamos que a função de iteração \varphi seja uma contração em \left[\tfrac{5}{10}, \tfrac{6}{10}\right], isto é, satisfaça \lvert \varphi'(x)\rvert < 1 para todo x nesse intervalo.

Passo 2

Analisando \varphi(x) = -\ln(x):
\varphi'(x) = -\frac{1}{x}.
No intervalo \left[\tfrac{5}{10}, \tfrac{6}{10}\right], temos
-\tfrac{1}{0{,}6}\approx -1{,}6667\le \varphi'(x)\le -\tfrac{1}{0{,}5} = -2.
Logo \lvert \varphi'(x)\rvert varia de 1{,}6667 a 2, sempre acima de 1. Portanto, \varphi(x) = -\ln(x) não é uma contração e não garante convergência.

Passo 3

Analisando \varphi(x) = e^{-x}:
\varphi'(x) = -e^{-x}.
Para x \in \left[\tfrac{5}{10}, \tfrac{6}{10}\right], e^{-x} varia entre e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488 e e^{-0{,}5}\approx 0{,}6065. Logo
\lvert \varphi'(x)\rvert = e^{-x}\in[0{,}5488,\;0{,}6065], sempre menor que 1.
Assim, \varphi(x) = e^{-x} é uma contração e garante convergência do método.

Passo 4

Como apenas \varphi(x)=e^{-x} satisfaz \lvert \varphi'(x)\rvert<1 em \left[\tfrac{5}{10}, \tfrac{6}{10}\right], essa é a única iteração com garantia de convergência.

Resposta

(b) \varphi(x) = e^{-x}

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