Cada uma das funções abaixo possui uma raiz isolada no intervalo I indicado. Aplique o método da bissecção para determinar um valor aproximado para o zero destas funções com erro inferior a 0,005 .
f(x)=e^{-x}-\ln x, I=\left[\frac{1}{2}, 2\right]

Passo 1

O enunciado pede para aproximar uma raiz de
f(x)=e^{-x}-\ln x
no intervalo \bigl[\tfrac12,2\bigr] usando o método da bissecção, de modo que o erro na raiz seja menor que 0,005.
Para isso precisamos de duas coisas:
  1. Verificar que f é contínua em \bigl[\tfrac12,2\bigr] e que há mudança de sinal em suas extremidades.
  2. Aplicar sucessivas divisões do intervalo até que o comprimento do subintervalo seja menor ou igual a 2\times0,005=0,01, garantindo erro abaixo de 0,005.

Passo 2

Calculamos os valores em a=\tfrac12 e b=2:
f\bigl(\tfrac12\bigr)=e^{-1/2}-\ln\bigl(\tfrac12\bigr)\approx0,60653-(-0,69315)=1,29968>0,
f(2)=e^{-2}-\ln2\approx0,13534-0,69315=-0,55781<0.
Como f(\tfrac12)\cdot f(2)<0 e f é contínua (soma e composição de funções contínuas), existe pelo menos uma raiz e ela é única por f'(x)<0 em todo o intervalo.

Passo 3

O método da bissecção garante que, após n iterações, o comprimento do intervalo seja
\frac{2-1/2}{2^n}=\frac{1{,}5}{2^n}.
Queremos \tfrac{1{,}5}{2^n}\le0,01, isto é
2^n\ge150\quad\Longrightarrow\quad n\ge\log_2(150)\approx7{,}23.
Portanto, basta n=8 iterações para garantir erro \le0,005.

Passo 4

Fazemos as primeiras 5 iterações para aproximar o intervalo:
  1. m_1=\tfrac{0,5+2}{2}=1,25,\;f(m_1)\approx0,0634>0 \,\Rightarrow[a_1,b_1]=[1,25,2].
  2. m_2=\tfrac{1,25+2}{2}=1,625,\;f(m_2)\approx-0,2876<0 \,\Rightarrow[a_2,b_2]=[1,25,1,625].
  3. m_3=\tfrac{1,25+1,625}{2}=1,4375,\;f(m_3)\approx-0,1233<0 \,\Rightarrow[a_3,b_3]=[1,25,1,4375].
  4. m_4=\tfrac{1,25+1,4375}{2}=1,34375,\;f(m_4)\approx-0,0342<0 \,\Rightarrow[a_4,b_4]=[1,25,1,34375].
  5. m_5=\tfrac{1,25+1,34375}{2}=1,296875,\;f(m_5)\approx0,0138>0 \,\Rightarrow[a_5,b_5]=[1,296875,1,34375].

Passo 5

Seguem as iterações 6 e 7:
6. m_6=\tfrac{1,296875+1,34375}{2}=1,3203125,\;f(m_6)\approx-0,0104<0 \,\Rightarrow[a_6,b_6]=[1,296875,1,3203125].
7. m_7=\tfrac{1,296875+1,3203125}{2}=1,30859375,\;f(m_7)\approx0,0017>0 \,\Rightarrow[a_7,b_7]=[1,30859375,1,3203125].

Passo 6

Oitava iteração:
8. m_8=\tfrac{1,30859375+1,3203125}{2}=1,314453125,\;f(m_8)\approx-0,0044<0 \,\Rightarrow[a_8,b_8]=[1,30859375,1,314453125].
Agora o comprimento do intervalo é
b_8-a_8=1,314453125-1,30859375=0,005859375\le0,01,
garantindo erro \le0,005.

Resposta

Uma aproximação para a raiz com erro inferior a 0,005 é
x\approx1,3115.

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