Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(j) f(x)=2 \sqrt{x}-x

Passo 1

Temos a função
f(x)=2\sqrt{x}-x
definida para x\ge0. O conteúdo aqui é análise de curva: derivadas para achar pontos críticos, monotonicidade, extremos, assíntotas, concavidade e pontos de inflexão, e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar pontos críticos e estudar monotonicidade.
f(x)=2x^{1/2}-x
f'(x)=2\cdot\tfrac12\,x^{-1/2}-1=\frac1{\sqrt{x}}-1,\quad x>0.
Resolvendo f'(x)=0 vem
\frac1{\sqrt{x}}-1=0\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{x}=1\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Também há o extremo de domínio em x=0.

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x)=\tfrac1{\sqrt{x}}-1:
  • Para 0<x<1 temos \sqrt{x}<1 então \tfrac1{\sqrt{x}}>1 e f'(x)>0. Logo f é crescente em (0,1).
  • Para x>1 temos \sqrt{x}>1 então \tfrac1{\sqrt{x}}<1 e f'(x)<0. Logo f é decrescente em (1,\infty).

Passo 4

Como f cresce até x=1 e depois decresce, x=1 é um máximo relativo. O valor é
f(1)=2\cdot1-1=1.
Em x=0 temos f(0)=0, que pode ser apenas o valor no extremo do domínio (sem ser excesso de máximo ou mínimo interno).

Passo 5

Procuramos assíntotas:
  • Para x\to\infty, f(x)=2\sqrt{x}-x\to-\infty e ao tentar ajustar y=-x+b notamos que
f(x)-(-x)=2\sqrt{x}\to\infty,
logo não existe reta assintótica de primeiro grau.
  • Em x=0 não há assíntota vertical, apenas tangente vertical no esboço.

Passo 6

Calculamos a segunda derivada para concavidade e inflexões:
f'(x)=x^{-1/2}-1,
f''(x)=-\tfrac12\,x^{-3/2}\quad\text{para }x>0.
Como f''(x)<0 em todo (0,\infty), a curva é côncava para baixo em todo o domínio interno, sem trocar de sinal, isto é, não há ponto de inflexão.

Passo 7

Esboço do gráfico de f:
  • Ponto inicial em (0,0) com tangente vertical.
  • Cresce de (0,0) até o máximo (1,1).
  • Decrece de (1,1) para -\infty conforme x\to\infty.
  • Em toda parte interna é côncava para baixo.

Resposta

Pontos críticos: x=1 (e ponto de domínio x=0).
Monotonicidade: crescente em (0,1), decrescente em (1,\infty).
Extremo relativo: máximo em (1,1).
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade: côncava para baixo em (0,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: curva partindo vertical em (0,0), sobe concava para baixo até (1,1), depois cai concava para baixo.

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