Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(j)
(j)
Passo 1
Temos a função
definida para
. O conteúdo aqui é análise de curva: derivadas para achar pontos críticos, monotonicidade, extremos, assíntotas, concavidade e pontos de inflexão, e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar pontos críticos e estudar monotonicidade.
Resolvendo
vem
Também há o extremo de domínio em
.
Passo 3
Estudamos o sinal de
:
- Para
temos então e . Logo é crescente em . - Para
temos então e . Logo é decrescente em .
Passo 4
Como
cresce até
e depois decresce,
é um máximo relativo. O valor é
Em
temos
, que pode ser apenas o valor no extremo do domínio (sem ser excesso de máximo ou mínimo interno).
Passo 5
Procuramos assíntotas:
- Para
, e ao tentar ajustar notamos que
logo não existe reta assintótica de primeiro grau.
- Em
não há assíntota vertical, apenas tangente vertical no esboço.
Passo 6
Calculamos a segunda derivada para concavidade e inflexões:
Como
em todo
, a curva é côncava para baixo em todo o domínio interno, sem trocar de sinal, isto é, não há ponto de inflexão.
Passo 7
Esboço do gráfico de
:
- Ponto inicial em
com tangente vertical. - Cresce de
até o máximo . - Decrece de
para conforme . - Em toda parte interna é côncava para baixo.
Resposta
Pontos críticos:
(e ponto de domínio
).
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
.
Extremo relativo: máximo em .
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade: côncava para baixo em .
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: curva partindo vertical em , sobe concava para baixo até
, depois cai concava para baixo.
Monotonicidade: crescente em
Extremo relativo: máximo em
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade: côncava para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: curva partindo vertical em