Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente encontre:
. Pontos críticos e classificação em extremos relativos (usando
).
. Regiões de crescimento (
) e decrescimento (
).
. Assíntotas (vertical, horizontal ou oblíqua).
. Pontos de inflexão e intervalos de concavidade (usando
).
. Um esboço do gráfico, marcando raízes, extremos e inflexão.
Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada, analisar os sinais e montar o esboço.
Passo 2
Calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos:
Resolvendo
:
Logo os pontos críticos são
Passo 3
Determinar os sinais de
para classificar crescimento e extremos:
- Como
é uma parábola voltada para baixo, ela é positiva entre as raízes e negativa fora delas. - Logo
em e em ;
em .
Isso significa:
-
decresce em , cresce em e decresce de novo em . - Em
, muda de negativo para positivo mínimo relativo. - Em
, muda de positivo para negativo máximo relativo.
Os valores de
nesses pontos são
Passo 4
Analisar assíntotas:
- Como
é um polinômio de grau , não há assíntotas verticais nem horizontais. - Também não há assíntota oblíqua porque o próprio polinômio descreve o comportamento ao infinito.
Passo 5
Calcular a segunda derivada e achar pontos de inflexão e concavidade:
Resolver
:
- Para
, concavidade para cima. - Para
, concavidade para baixo.
Logoé ponto de inflexão, com
Passo 6
Esboço do gráfico e marcas principais:
- Raízes de
: fatorando,
, então zeros em . - End behavior: como o coeficiente de
é negativo,
e . - Mínimo relativo em
. - Máximo relativo em
. - Ponto de inflexão em
. - Concavidade para cima em
, para baixo em .
Com isso podemos traçar a curva: começa alta à esquerda, cruza o eixo em
, desce até o mínimo em
, sobe até o máximo em
, faz inflexão em
mudando a curvatura, cruza o eixo em
e em
, e cai para
à direita.
Resposta
Pontos críticos:
(mínimo) e
(máximo).
Cresce em , decresce em
.
Não há assíntotas.
Ponto de inflexão em com
.
Concavidade para cima em , para baixo em
.
Esboço conforme descrito no passo .
Cresce em
Não há assíntotas.
Ponto de inflexão em
Concavidade para cima em
Esboço conforme descrito no passo