Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(b) f(x)=-x^{3}+5 x^{2}-6 x

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x) = -x^3 + 5x^2 -6x,
que a gente encontre:
1. Pontos críticos e classificação em extremos relativos (usando f'(x)).
2. Regiões de crescimento ( f'>0) e decrescimento ( f'<0).
3. Assíntotas (vertical, horizontal ou oblíqua).
4. Pontos de inflexão e intervalos de concavidade (usando f''(x)).
5. Um esboço do gráfico, marcando raízes, extremos e inflexão.
Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada, analisar os sinais e montar o esboço.

Passo 2

Calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^3 + 5x^2 -6x\bigr) = -3x^2 + 10x -6.
Resolvendo f'(x)=0:
-3x^2 + 10x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{3}.
Logo os pontos críticos são
x_1 = \frac{5 - \sqrt{7}}{3}\approx 0,785 \quad\text{e}\quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{7}}{3}\approx 2,549.

Passo 3

Determinar os sinais de f'(x) para classificar crescimento e extremos:
  • Como f'(x) é uma parábola voltada para baixo, ela é positiva entre as raízes e negativa fora delas.
  • Logo f'(x)<0 em \bigl(-\infty,\tfrac{5-\sqrt7}3\bigr) e em \bigl(\tfrac{5+\sqrt7}3,\infty\bigr);
    f'(x)>0 em \bigl(\tfrac{5-\sqrt7}3,\tfrac{5+\sqrt7}3\bigr).
Isso significa:
  • f decresce em \bigl(-\infty,0,785\bigr), cresce em \bigl(0,785,2,549\bigr) e decresce de novo em \bigl(2,549,\infty\bigr).
  • Em x_1\approx0,785, f' muda de negativo para positivo \to mínimo relativo.
  • Em x_2\approx2,549, f' muda de positivo para negativo \to máximo relativo.
Os valores de f nesses pontos são
f\bigl(0,785\bigr)\approx -2,112, \quad f\bigl(2,549\bigr)\approx 0,619.

Passo 4

Analisar assíntotas:
  • Como f é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais.
  • Também não há assíntota oblíqua porque o próprio polinômio descreve o comportamento ao infinito.

Passo 5

Calcular a segunda derivada e achar pontos de inflexão e concavidade:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-3x^2 +10x -6\bigr) = -6x +10.
Resolver f''(x)=0:
-6x +10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\approx 1,667.
  • Para x<\tfrac{5}{3}, f''(x)>0 \to concavidade para cima.
  • Para x>\tfrac{5}{3}, f''(x)<0 \to concavidade para baixo.
    Logo x=\tfrac{5}{3} é ponto de inflexão, com
f\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) = -\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^3 +5\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^2 -6\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) = -\tfrac{125}{27} + \tfrac{125}{9} - \tfrac{30}{3} = -\tfrac{20}{27}\approx -0,741.

Passo 6

Esboço do gráfico e marcas principais:
  • Raízes de f(x): fatorando,
    \;f(x)=-x(x-2)(x-3), então zeros em x=0,2,3.
  • End behavior: como o coeficiente de x^3 é negativo,
    \displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.
  • Mínimo relativo em \bigl(0,785\,,\,-2,112\bigr).
  • Máximo relativo em \bigl(2,549\,,\,0,619\bigr).
  • Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{5}{3}\,,\,-\tfrac{20}{27}\bigr)\approx(1,667,-0,741).
  • Concavidade para cima em (-\infty,1,667), para baixo em (1,667,\infty).
Com isso podemos traçar a curva: começa alta à esquerda, cruza o eixo em x=0, desce até o mínimo em x\approx0,785, sobe até o máximo em x\approx2,549, faz inflexão em x\approx1,667 mudando a curvatura, cruza o eixo em 2 e em 3, e cai para -\infty à direita.

Resposta

Pontos críticos:
\displaystyle x=\frac{5\pm\sqrt7}3\approx0,785 (mínimo) e 2,549 (máximo).
Cresce em \bigl(0,785,2,549\bigr), decresce em \bigl(-\infty,0,785\bigr)\cup\bigl(2,549,\infty\bigr).
Não há assíntotas.
Ponto de inflexão em x=\tfrac{5}{3}\approx1,667 com f\approx-0,741.
Concavidade para cima em (-\infty,1,667), para baixo em (1,667,\infty).
Esboço conforme descrito no passo 6.

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