Oscilador harmônico
A posição angular \theta(t) de um pêndulo simples de comprimento L e massa m que oscila com pequena amplitude \theta_{m} é definida pela função
\theta(t)=3.5 \cos (2.7 t)
A unidade de \theta é radianos e \circ tempo t é medido em segundos. O pêndulo oscila em um planeta onde a aceleração da gravidade é \mathrm{g}=18.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Qual a frequência de oscilação em Hz ?
b) Qual a amplitude da oscilação em radianos?
c) Qual o comprimento do pêndulo em metros?

Passo 1

O enunciado nos dá a posição angular de um pêndulo simples em pequeno ângulo
\theta(t)=3.5\cos(2.7\,t)
com amplitude em radianos e frequência angular em rad/s. Pede-se:
– (a) a frequência de oscilação f em hertz;
– (b) a amplitude da oscilação em radianos;
– (c) o comprimento L do pêndulo, sabendo que a gravidade é g=18,5,m/s ^2.
O conteúdo é Movimento Harmônico Simples e a fórmula chave para pêndulo é
\omega^2=\frac{g}{L},
além de relacionar frequência angular \omega com frequência f por \omega=2\pi f.

Passo 2

Reconhecemos que, comparando com o modelo
\theta(t)=A\cos(\omega t),
temos amplitude
A=3.5\text{ rad}
e frequência angular
\omega=2.7\text{ rad/s}.

Passo 3

A frequência em hertz é dada por
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=2.7,
f=\frac{2.7}{2\pi}\approx0.43\text{ Hz}.

Passo 4

A amplitude da oscilação é justamente o valor máximo de \theta, ou seja
A=3.5\text{ rad}.

Passo 5

Para achar o comprimento do pêndulo usamos
\omega^2=\frac{g}{L} \quad\Longrightarrow\quad L=\frac{g}{\omega^2}.
Como g=18.5 e \omega=2.7,
L=\frac{18.5}{(2.7)^2}\approx2.54\text{ m}.

Resposta

(a) 0,43\text{ Hz}
(b) 3,5\text{ rad}
(c) 2,54\text{ m}

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