( 2,5 \mathrm{pts} ) Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot n d S, onde S é a porção do parabolóide z=x^{2}+y^{2}, compreendida entre os planos z=0 e 2 x+z=1, com normal exterior e \vec{F}(x, y, z)=(2 x-1,2 y+1,2 z-5).
S é a superfície explícita z=x^{2}+y^{2} que se encontra abaixo do plano z=1-2 x. Uma parametrização para S é

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de superfície
\iint_{S}\vec{F}\cdot n\,dS
onde S é a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} limitada pelo plano z=1-2x, usando a normal exterior ao volume entre essas duas superfícies. Vamos parametrizar S como superfície explícita z=f(x,y)=x^{2}+y^{2} e transformar o integral de superfície em um integral duplo sobre a região projetada D no plano xy.

Passo 2

Parametrização de S:
\mathbf{r}(x,y) = \bigl(x,\;y,\;x^{2}+y^{2}\bigr),
com (x,y) variando em
D=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1-2x\bigr\} \quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^{2}+y^{2}\le2.
O vetor normal não unitário é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&0&2x\\\\ 0&1&2y \end{vmatrix} =(-2x,\,-2y,\,1).
Como essa normal aponta para cima (dentro do volume), a normal exterior é
n\,dS = -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)\,dx\,dy.

Passo 3

Expressamos \vec{F} sobre S:
\vec{F}(x,y,x^{2}+y^{2}) =\bigl(2x-1,\;2y+1,\;2(x^{2}+y^{2})-5\bigr).
Calculamos o produto escalar
\vec{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) =(2x-1)(-2x)+(2y+1)(-2y)+\bigl(2(x^{2}+y^{2})-5\bigr)\cdot1 =-2(x^{2}+y^{2})+2x-2y-5.
Portanto
\vec{F}\cdot n\,dS =-\bigl(\vec{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)\bigr)\,dx\,dy =\bigl[2(x^{2}+y^{2})-2x+2y+5\bigr]\,dx\,dy.

Passo 4

O integral de superfície vira
\iint_{S}\vec{F}\cdot n\,dS =\iint_{D}\bigl[2(x^{2}+y^{2})-2x+2y+5\bigr]\,dx\,dy.
Para simplificar, fazemos a mudança
u=x+1,\quad v=y,
de modo que D em (u,v) é o disco u^{2}+v^{2}\le2. Em termos de u,v:
x^{2}+y^{2}=(u-1)^{2}+v^{2}=u^{2}+v^{2}-2u+1,
-2x+2y+5=-2(u-1)+2v+5=-2u+2+2v+5=-2u+2v+7.
Logo o integrando torna-se
2(u^{2}+v^{2}-2u+1)-2u+2v+7 =2u^{2}+2v^{2}-4u+2-2u+2v+7 =2u^{2}+2v^{2}-6u+2v+9.

Passo 5

Mudamos para coordenadas polares centradas em (0,0) no plano uv:
u=r\cos\theta,\quad v=r\sin\theta, \quad 0\le r\le\sqrt{2},\; 0\le\theta\le2\pi, \quad dx\,dy = du\,dv = r\,dr\,d\theta.
O integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} \bigl[2r^{2}-6r\cos\theta+2r\sin\theta+9\bigr]\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separamos em quatro integrais:
I_1=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\sqrt{2}}2r^{3}dr\,d\theta, \quad I_2=\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\;\int_{0}^{\sqrt{2}}(-6r^{2})dr,
I_3=\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{\sqrt{2}}2r^{2}dr, \quad I_4=\int_{0}^{2\pi}\!9\,d\theta\;\int_{0}^{\sqrt{2}}r\,dr.
Calculamos:
I_1 =2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{3}dr =2\cdot2\pi\cdot\frac{(\sqrt{2})^{4}}{4} =4\pi,
I_2 =-6\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}\right) =0, \quad I_3=0,
I_4 =9\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}r\,dr =9\cdot2\pi\cdot\frac{(\sqrt{2})^{2}}{2} =18\pi.
Somando I_1+I_2+I_3+I_4=4\pi+0+0+18\pi=22\pi.

Resposta

\iint_{S}\vec{F}\cdot n\,dS = 22\pi.

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