Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(e) y=\sqrt[3]{(2-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
y = \sqrt[3]{(2 - x)^{2}} = (2 - x)^{\tfrac{2}{3}}
encontrando pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e análise de limites.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio e a derivada primeira. Como a raiz cúbica está bem definida para todo real, o domínio é \mathbb{R}. Calculamos
y' = \frac{d}{dx}\bigl((2 - x)^{\tfrac{2}{3}}\bigr) = \frac{2}{3}(2 - x)^{-\tfrac{1}{3}}\cdot(-1) = -\frac{2}{3}\,(2 - x)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 3

Pontos críticos são onde y'=0 ou y' não existe. Aqui y' nunca é zero (o numerador é constante -2), mas y' não existe em x=2 pois o fator (2 - x)^{-\tfrac{1}{3}} diverge. Logo há um ponto crítico em
x = 2.

Passo 4

Analisamos o sinal de y':
  • Para x<2, temos 2 - x>0 e (2 - x)^{-\tfrac{1}{3}}>0, logo y' = -\tfrac{2}{3}\,(2 - x)^{-\tfrac{1}{3}}<0. A função é decrescente em (-\infty,2).
  • Para x>2, temos 2 - x<0 e (2 - x)^{-\tfrac{1}{3}}<0, logo y' = -\tfrac{2}{3}\times(\text{negativo})>0. A função é crescente em (2,\infty).

Passo 5

Como a função passa de decrescente para crescente em x=2, aí ocorre um mínimo relativo. O valor é
y(2) = (2-2)^{\tfrac{2}{3}} = 0.

Passo 6

Não há assíntotas verticais nem horizontais:
  • Em x\to\pm\infty, (2 - x)^{2/3}\sim |x|^{2/3}\to+\infty, sem assíntota horizontal.
  • Não há ponto em que y expluda, então não há assíntota vertical.

Passo 7

Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade:
y'' = \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{2}{3}(2 - x)^{-\tfrac{1}{3}}\Bigr) = -\tfrac{2}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)(2 - x)^{-\tfrac{4}{3}}\cdot(-1) = -\frac{2}{9}\,(2 - x)^{-\tfrac{4}{3}}.
Como (2 - x)^{-\tfrac{4}{3}}>0 para todo x\neq2, temos y''<0 em todo \mathbb{R}\setminus\{2\}. Logo o gráfico é côncavo para baixo em toda a reta, sem região de concavidade para cima.

Passo 8

Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda de sinal ou y'' não existe com troca de sinal. Aqui y'' não existe em x=2, mas não há troca de sinal (permanece negativa de ambos os lados). Portanto não há ponto de inflexão.

Passo 9

Esboço do gráfico:
  • Para x \ll 2, y cresce em módulo como |x|^{2/3}, mas decresce até (2,0).
  • Há um “cúspide” em (2,0) onde a tangente é vertical.
  • Para x > 2, y aumenta em forma espelhada.
  • O gráfico é sempre côncavo para baixo, aproximando-se de infinito nas duas extremidades.

Resposta

Pontos críticos: x=2 (único).
Crescimento: (2,\infty).
Decrescimento: (-\infty,2).
Extremo relativo: mínimo em (2,0).
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo: toda \mathbb{R}\setminus\{2\}.
Concavidade para cima: nenhuma.
Pontos de inflexão: nenhum.
Gráfico: cúspide em (2,0), decrescente à esquerda e crescente à direita, sempre côncavo para baixo.

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