Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
encontrando pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e análise de limites.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio e a derivada primeira. Como a raiz cúbica está bem definida para todo real, o domínio é
. Calculamos
Passo 3
Pontos críticos são onde
ou
não existe. Aqui
nunca é zero (o numerador é constante
), mas
não existe em
pois o fator
diverge. Logo há um ponto crítico em
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
- Para
, temos e , logo . A função é decrescente em . - Para
, temos e , logo . A função é crescente em .
Passo 5
Como a função passa de decrescente para crescente em
, aí ocorre um mínimo relativo. O valor é
Passo 6
Não há assíntotas verticais nem horizontais:
- Em
, , sem assíntota horizontal. - Não há ponto em que
expluda, então não há assíntota vertical.
Passo 7
Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade:
Como
para todo
, temos
em todo
. Logo o gráfico é côncavo para baixo em toda a reta, sem região de concavidade para cima.
Passo 8
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda de sinal ou
não existe com troca de sinal. Aqui
não existe em
, mas não há troca de sinal (permanece negativa de ambos os lados). Portanto não há ponto de inflexão.
Passo 9
Esboço do gráfico:
- Para
, cresce em módulo como , mas decresce até . - Há um “cúspide” em
onde a tangente é vertical. - Para
, aumenta em forma espelhada. - O gráfico é sempre côncavo para baixo, aproximando-se de infinito nas duas extremidades.
Resposta
Pontos críticos:
(único).
Crescimento: .
Decrescimento: .
Extremo relativo: mínimo em .
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo: toda .
Concavidade para cima: nenhuma.
Pontos de inflexão: nenhum.
Gráfico: cúspide em , decrescente à esquerda e crescente à direita, sempre côncavo para baixo.
Crescimento:
Decrescimento:
Extremo relativo: mínimo em
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo: toda
Concavidade para cima: nenhuma.
Pontos de inflexão: nenhum.
Gráfico: cúspide em