Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(d) f(x)=e^{-x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=e^{-x^{2}+4},
que determinemos: domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, regiões de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão e, ao final, esbocemos o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Começamos pela derivada primeira. Como f(x)=\exp(-x^{2}+4), vale a regra da cadeia:
f'(x)=(-2x)\,e^{-x^{2}+4}=-2x\,e^{-x^{2}+4}.
O domínio é \mathbb{R}. Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad -2x\,e^{-x^{2}+4}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,
pois e^{-x^{2}+4}>0 para todo x.
Para o sinal de f'(x):
  • Se x<0, então -2x>0 e f'(x)>0, logo f cresce em (-\infty,0).
  • Se x>0, então -2x<0 e f'(x)<0, logo f decresce em (0,\infty).

Passo 3

Classificação do ponto crítico em x=0. Como f' muda de positivo para negativo ao passar por 0, temos um máximo relativo em x=0. O valor é
f(0)=e^{-(0)^{2}+4}=e^{4}.
Não há mínimo relativo, pois não há outro ponto crítico.

Passo 4

Agora a derivada segunda para concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x\,e^{-x^{2}+4}\bigr) =-2\,e^{-x^{2}+4}+(-2x)(-2x)\,e^{-x^{2}+4} =(4x^{2}-2)\,e^{-x^{2}+4}.
Como e^{-x^{2}+4}>0, o sinal de f''(x) vem de 4x^{2}-2:
4x^{2}-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Para |x|<\tfrac1{\sqrt2}, tem-se 4x^{2}-2<0 e f''(x)<0: côncavo para baixo em \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr).
  • Para |x|>\tfrac1{\sqrt2}, tem-se 4x^{2}-2>0 e f''(x)>0: côncavo para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt2}) e (\tfrac1{\sqrt2},\infty).
    Os pontos de inflexão ocorrem em x=\pm\tfrac1{\sqrt2}, com
f\!\Bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2}\Bigr) =e^{-(1/2)+4} =e^{7/2}.

Passo 5

Verificamos assíntotas horizontais: como -x^{2}+4\to -\infty quando x\to\pm\infty, segue que
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0,
logo há assíntota horizontal y=0. Não há assíntotas verticais nem oblíquas, pois o domínio é todo \mathbb{R} e f(x) tende a zero exponencialmente.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • É uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Cresce de 0 até o máximo f(0)=e^{4} em x=0, depois decresce para 0.
  • Tem assíntota horizontal em y=0.
  • É côncava para cima quando |x|>1/\sqrt2 e para baixo quando |x|<1/\sqrt2, com inflexões em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},e^{7/2}\bigr).

Resposta

Pontos críticos: x=0.
Intervalos de crescimento: (-\infty,0).
Intervalos de decrescimento: (0,\infty).
Extremo relativo: máximo em \bigl(0,e^{4}\bigr).
Assíntota horizontal: y=0.
Concavidade para baixo em \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr).
Concavidade para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt2}) e (\tfrac1{\sqrt2},\infty).
Pontos de inflexão: \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},e^{7/2}\bigr).
Esboço: gráfico em forma de “campânula” centrada em x=0, com pico e^{4} e caindo suavemente até o eixo x (assíntota y=0).

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