Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que determinemos: domínio, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, regiões de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão e, ao final, esbocemos o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Começamos pela derivada primeira. Como
, vale a regra da cadeia:
O domínio é
. Para achar pontos críticos, resolvemos
pois
para todo
.
Para o sinal de :
Para o sinal de
- Se
, então e , logo cresce em . - Se
, então e , logo decresce em .
Passo 3
Classificação do ponto crítico em
. Como
muda de positivo para negativo ao passar por
, temos um máximo relativo em
. O valor é
Não há mínimo relativo, pois não há outro ponto crítico.
Passo 4
Agora a derivada segunda para concavidade:
Como
, o sinal de
vem de
:
- Para
, tem-se e : côncavo para baixo em . - Para
, tem-se e : côncavo para cima em e .
Os pontos de inflexão ocorrem em, com
Passo 5
Verificamos assíntotas horizontais: como
quando
, segue que
logo há assíntota horizontal
. Não há assíntotas verticais nem oblíquas, pois o domínio é todo
e
tende a zero exponencialmente.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- É uma função par (simétrica em relação ao eixo
). - Cresce de
até o máximo em , depois decresce para 0. - Tem assíntota horizontal em
. - É côncava para cima quando
e para baixo quando , com inflexões em .
Resposta
Pontos críticos:
.
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Extremo relativo: máximo em .
Assíntota horizontal: .
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em e
.
Pontos de inflexão: .
Esboço: gráfico em forma de “campânula” centrada em , com pico
e caindo suavemente até o eixo
(assíntota
).
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Extremo relativo: máximo em
Assíntota horizontal:
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão:
Esboço: gráfico em forma de “campânula” centrada em