Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(f) f(x)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}
encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, regiões de concavidade e pontos de inflexão, e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda, além de análise de limites para assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas.
O domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Para x\to0, f(x)\to+\infty (tanto pela direita quanto pela esquerda), logo há assíntota vertical em
x=0.
  • Para x\to\pm\infty, tanto \tfrac1{x^{2}}\to0 quanto \tfrac1{x}\to0, então
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0
e temos assíntota horizontal em
y=0.

Passo 3

Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-2}-x^{-1}\Bigr) =-2x^{-3}+1\cdot(-1)x^{-2}(-1)= -\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}} =\frac{-2+x}{x^{3}}.
Igualando a zero para pontos críticos:
\frac{-2+x}{x^{3}}=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.
x=0 não está no domínio.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) e identificar extremos.
  • Para x<0: x^{3}<0 e -2+x<0 (pois x<0\Rightarrow x<2), logo \,f'(x)>0.
  • Para 0<x<2: x^{3}>0 mas -2+x<0, logo \,f'(x)<0.
  • Para x>2: x^{3}>0 e -2+x>0, logo \,f'(x)>0.
Portanto
  • f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty).
  • f é decrescente em (0,2).
Em x=2 a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo relativo. O valor é
f(2)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}.

Passo 5

Calcular a derivada segunda e achar inflexão e concavidade.
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(-2x^{-3}+x^{-2}\Bigr) =6x^{-4}-2x^{-3} =\frac{6-2x}{x^{4}} =\frac{2(3-x)}{x^{4}}.
Zerando:
2(3-x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=3
(com x=0 fora do domínio).
Analisando o sinal de f''(x):
  • Para x<3 (e x\neq0), 3-x>0 e x^{4}>0 \,\Rightarrow\,f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Para x>3, 3-x<0 \,\Rightarrow\,f''(x)<0 (côncavo para baixo).
Logo há ponto de inflexão em x=3 com
f(3)=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{9}.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Em (-\infty,0), f cresce de 0^{+} (em -\infty) para +\infty (em 0^{-}), sempre côncavo para cima.
  • Em (0,2), f decresce de +\infty (em 0^{+}) para -\tfrac14 (em 2), concavidade para cima até x=3, mas aqui nem alcança pois 2<3.
  • Em (2,3), f cresce de -\tfrac14 para -\tfrac{2}{9}, ainda côncavo para cima.
  • Em (3,\infty), f cresce de -\tfrac{2}{9} até 0^{+}, côncavo para baixo.
    As assíntotas são x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

Resposta

Pontos críticos: x=2 (mínimo relativo em (2,-\tfrac14)).
Assíntotas: vertical em x=0; horizontal em y=0.
Crescimento: (-\infty,0) e (2,\infty).
Decrescimento: (0,2).
Concavidade para cima: (-\infty,3)\setminus\{0\}.
Concavidade para baixo: (3,\infty).
Ponto de inflexão: \bigl(3,-\tfrac{2}{9}\bigr).

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