Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para a função
encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, regiões de concavidade e pontos de inflexão, e esboçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda, além de análise de limites para assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas.
O domínio é .
O domínio é
- Para
, (tanto pela direita quanto pela esquerda), logo há assíntota vertical em
- Para
, tanto quanto , então
e temos assíntota horizontal em
Passo 3
Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos.
Igualando a zero para pontos críticos:
Passo 4
Analisar o sinal de
e identificar extremos.
- Para
: e (pois ), logo . - Para
: mas , logo . - Para
: e , logo .
Portanto
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Em
a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo relativo. O valor é
Passo 5
Calcular a derivada segunda e achar inflexão e concavidade.
Zerando:
(com
fora do domínio).
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Para
(e ), e (côncavo para cima). - Para
, (côncavo para baixo).
Logo há ponto de inflexão em
com
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Em
, cresce de (em ) para (em ), sempre côncavo para cima. - Em
, decresce de (em ) para (em ), concavidade para cima até , mas aqui nem alcança pois . - Em
, cresce de para , ainda côncavo para cima. - Em
, cresce de até , côncavo para baixo.
As assíntotas são(vertical) e (horizontal).
Resposta
Pontos críticos:
(mínimo relativo em
).
Assíntotas: vertical em ; horizontal em
.
Crescimento: e
.
Decrescimento: .
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Ponto de inflexão: .
Assíntotas: vertical em
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão: