Para cada função abaixo faça a aproximação por polinomios de Taylor de grau
centrada no ponto
e use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para
com
,
e
:
- Encontrar o polinômio de Taylor de grau
centrado em , ou seja . - Usar a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando varia no intervalo .
Informações dadas que vou usar explicitamente:
,
,
, intervalo
. Nada mais será pedido além de produzir
e estimar
nesse intervalo.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula que vamos usar (aula rápida):
- O polinômio de Taylor de grau
centrado em é
Aqui
é a
-ésima derivada de
avaliada em
;
é o fatorial de
.
- A forma de Lagrange do resto é
para algum
entre
e
. A Desigualdade de Taylor (ou estimativa do resto) diz que, se existe
tal que
para todo
entre
e
, então
Neste problema
e
, então precisaremos de
para
para construir
e de um majorante
para
em
para estimar o resto.
Passo 3
Calcular as derivadas de
passo a passo (uso regra da cadeia e produto quando necessário).
- Primeira derivada:
Expliquei: derivada de
é
com
e
.
- Segunda derivada: derivada de
:
Aqui usei produto:
e o termo
.
- Terceira derivada: derivada de
:
Detalhe: derivei a parte polinomial
que dá
, e somei o termo vindo da derivada do expoente.
- Quarta derivada (precisamos dela para o resto):
Agora simplifico os termos:
logo
Passo 4
Avalio as derivadas em
para obter os coeficientes do polinômio:
-
. -
. -
. -
.
Usando a fórmula de Taylor com
:
Substituindo os valores:
Comentário amigo: embora peçamos grau
, os termos de ordem
e
desaparecem porque as derivadas ímpares em
são zero — por isso o polinômio efetivo é de grau
.
Passo 5
Agora estimamos o resto usando a Desigualdade de Taylor. Precisamos de um
com
para todo
.
Observação: para temos
crescente e o polinômio
também é positivo e crescente em
. Então o máximo de
no intervalo ocorre em
. Assim
Observação: para
Passo 6
Aplicando a desigualdade com
,
, e
:
Podemos simplificar a fração:
logo
Como
nesse intervalo, uma estimativa global máxima no intervalo é
Se quiser um valor numérico aproximado:
Aviso amigo: essa é uma cota conservadora (muito maior que o resto real em
, que começa com
), mas é garantida pela desigualdade de Taylor que pedimos usar.