Para cada função abaixo faça a aproximação por polinomios de Taylor de grau n centrada no ponto a e use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \approx T_{n}(x) quando x estiver no intervalo dado
f(x)=e^{x^{2}}, \quad a=0, \quad n=3, \quad 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para f(x)=e^{x^{2}} com a=0, n=3 e 0\le x\le1:
  1. Encontrar o polinômio de Taylor de grau n=3 centrado em a=0, ou seja T_{3}(x).
  2. Usar a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x)\approx T_{3}(x) quando x varia no intervalo [0,1].
Informações dadas que vou usar explicitamente: f(x)=e^{x^{2}}, a=0, n=3, intervalo [0,1]. Nada mais será pedido além de produzir T_{3}(x) e estimar |R_{3}(x)| nesse intervalo.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • O polinômio de Taylor de grau n centrado em a é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}.
Aqui f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em a; k! é o fatorial de k.
  • A forma de Lagrange do resto é
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
para algum \xi entre a e x. A Desigualdade de Taylor (ou estimativa do resto) diz que, se existe M tal que |f^{(n+1)}(t)|\le M para todo t entre a e x, então
|R_{n}(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{\,n+1}.
Neste problema a=0 e n=3, então precisaremos de f^{(k)}(0) para k=0,1,2,3 para construir T_{3} e de um majorante M para |f^{(4)}(t)| em t\in[0,1] para estimar o resto.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=e^{x^{2}} passo a passo (uso regra da cadeia e produto quando necessário).
  • Primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^{2}}=2x e^{x^{2}}.
Expliquei: derivada de e^{u} é u' e^{u} com u=x^{2} e u'=2x.
  • Segunda derivada: derivada de 2x e^{x^{2}}:
f''(x)=2 e^{x^{2}} + 2x\cdot 2x e^{x^{2}}=(2+4x^{2})e^{x^{2}}.
Aqui usei produto: (2x)'=2 e o termo 2x\cdot(2x e^{x^{2}}).
  • Terceira derivada: derivada de (2+4x^{2})e^{x^{2}}:
f'''(x)=8x e^{x^{2}} + (2+4x^{2})\cdot 2x e^{x^{2}}=(12x+8x^{3})e^{x^{2}}.
Detalhe: derivei a parte polinomial 2+4x^{2} que dá 8x, e somei o termo vindo da derivada do expoente.
  • Quarta derivada (precisamos dela para o resto):
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\big((12x+8x^{3})e^{x^{2}}\big) =(12+24x^{2})e^{x^{2}}+(12x+8x^{3})\cdot 2x e^{x^{2}}.
Agora simplifico os termos:
(12+24x^{2}) + (24x^{2}+16x^{4}) = 12 + 48x^{2} + 16x^{4},
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f^{(4)}(x)=(12+48x^{2}+16x^{4})e^{x^{2}}.

Passo 4

Avalio as derivadas em a=0 para obter os coeficientes do polinômio:
  • f(0)=e^{0}=1.
  • f'(0)=2\cdot0\cdot e^{0}=0.
  • f''(0)=(2+4\cdot0) e^{0}=2.
  • f'''(0)=(12\cdot0+8\cdot0) e^{0}=0.
Usando a fórmula de Taylor com a=0:
T_{3}(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}.
Substituindo os valores:
T_{3}(x)=1+0\cdot x + \frac{2}{2}x^{2}+0\cdot x^{3}=1+x^{2}.
Comentário amigo: embora peçamos grau 3, os termos de ordem 1 e 3 desaparecem porque as derivadas ímpares em 0 são zero — por isso o polinômio efetivo é de grau 2.

Passo 5

Agora estimamos o resto usando a Desigualdade de Taylor. Precisamos de um M com |f^{(4)}(t)|\le M para todo t\in[0,1].
Observação: para t\in[0,1] temos e^{t^{2}} crescente e o polinômio 12+48t^{2}+16t^{4} também é positivo e crescente em [0,1]. Então o máximo de |f^{(4)}(t)| no intervalo ocorre em t=1. Assim
M=f^{(4)}(1)=(12+48\cdot1+16\cdot1)e^{1}=(12+48+16)e=76e.

Passo 6

Aplicando a desigualdade com n=3, a=0, e M=76e:
|R_{3}(x)|\le\frac{M}{4!}|x-0|^{4}=\frac{76e}{24}x^{4}.
Podemos simplificar a fração:
\frac{76}{24}=\frac{19}{6},
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|R_{3}(x)|\le\frac{19e}{6}\,x^{4}\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Como x^{4}\le1 nesse intervalo, uma estimativa global máxima no intervalo é
|R_{3}(x)|\le\frac{19e}{6}\quad\text{para }0\le x\le1.
Se quiser um valor numérico aproximado:
\frac{19e}{6}\approx 8{,}607\ldots
Aviso amigo: essa é uma cota conservadora (muito maior que o resto real em x=1, que começa com x^{4}/2=1/2), mas é garantida pela desigualdade de Taylor que pedimos usar.

Resposta

T_{3}(x)=1+x^{2}.\n
|R_{3}(x)|\le\displaystyle\frac{19e}{6}\,x^{4}\le\displaystyle\frac{19e}{6}\quad\text{para }0\le x\le1.

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