Exercício 2. Calcule:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{5 s-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{5s-2}\right).
Informações dadas: a função no domínio de s é \displaystyle \frac{1}{5s-2}.
Objetivo: encontrar a função em t cuja transformada de Laplace inversa é essa (ou seja, achar f(t) tal que \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{5s-2}).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula básica que vamos usar): para todo número real \,a, tem-se a transformada
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válida para \operatorname{Re}(s)>a.
Aqui t é a variável do tempo (normalmente t\ge 0) e s é a variável complexa da transformação de Laplace. Essa fórmula nos diz que a função no tempo e^{at} corresponde no domínio s ao racional 1/(s-a). Na prática, para inverter uma expressão do tipo 1/(s-a) basta reconhecer que a inversa é e^{at}.

Passo 3

Vamos manipular algebricamente \displaystyle \frac{1}{5s-2} para colocá-la na forma \displaystyle \frac{\text{const}}{s-a}. Primeiro fatoramos 5 no denominador:
\frac{1}{5s-2}=\frac{1}{5\left(s-\frac{2}{5}\right)}.

Passo 4

Escrevendo a constante fora da fração, obtemos
\frac{1}{5s-2}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-\frac{2}{5}}.
Aqui identificamos a forma \frac{1}{s-a} com a=\frac{2}{5}, e há um fator constante multiplicativo \frac{1}{5}.

Passo 5

Usamos a linearidade da transformada inversa de Laplace: se \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t) e c é constante, então \mathcal{L}^{-1}\{cF(s)\}=c\,f(t). Aplicando isso com F(s)=\dfrac{1}{s-\frac{2}{5}} e c=\dfrac{1}{5}, e usando a fórmula do Passo 2 com a=\dfrac{2}{5}, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{s-\frac{2}{5}}\right)=e^{\frac{2}{5}t}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left(\frac{1}{5s-2}\right)=\frac{1}{5}\,e^{\frac{2}{5}t},
válido para t\ge 0 e na região de convergência \operatorname{Re}(s)>\tfrac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{\frac{2}{5}t}

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