Exercício 2. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações dadas: a função no domínio de é
.
Objetivo: encontrar a função em cuja transformada de Laplace inversa é essa (ou seja, achar
tal que
).
Informações dadas: a função no domínio de
Objetivo: encontrar a função em
Passo 2
Lembrete importante (fórmula básica que vamos usar): para todo número real
, tem-se a transformada
válida para
.
Aqui é a variável do tempo (normalmente
) e
é a variável complexa da transformação de Laplace. Essa fórmula nos diz que a função no tempo
corresponde no domínio
ao racional
. Na prática, para inverter uma expressão do tipo
basta reconhecer que a inversa é
.
Aqui
Passo 3
Vamos manipular algebricamente
para colocá-la na forma
. Primeiro fatoramos
no denominador:
Passo 4
Escrevendo a constante fora da fração, obtemos
Aqui identificamos a forma
com
, e há um fator constante multiplicativo
.
Passo 5
Usamos a linearidade da transformada inversa de Laplace: se
e
é constante, então
. Aplicando isso com
e
, e usando a fórmula do Passo 2 com
, temos
Portanto
válido para
e na região de convergência
.