Calcule a integral
\int_{-1}^{0} \frac{x^{3}+4 x^{2}+x-1}{x^{3}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{0} \frac{x^{3}+4 x^{2}+x-1}{x^{3}+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{3}+4 x^{2}+x-1}{x^{3}+x^{2}}.
  • O denominador pode ser fatorado como \,x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1), portanto há pontos onde a função não está definida em x=0 (polo de ordem 2) e em x=-1 (polo simples).
  • O intervalo de integração é [-1,0], ou seja, ambos os pontos singulares x=-1 e x=0 são exatamente as extremidades do intervalo — isso torna a integral uma integral imprópria e será necessário tratar esses pontos por limites.
  • Pergunta pedida: avaliar (ou concluir sobre a convergência/divergência de) \displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{x^{3}+4 x^{2}+x-1}{x^{3}+x^{2}}\,dx.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão quando possível. Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 3), faço a divisão polinomial escrevendo a função como soma de uma parte inteira mais uma fração própria. Observe que
x^{3}+4x^{2}+x-1-(x^{3}+x^{2})=3x^{2}+x-1,
logo podemos escrever
\frac{x^{3}+4 x^{2}+x-1}{x^{3}+x^{2}}=1+\frac{3x^{2}+x-1}{x^{2}(x+1)}.
Explicação curta: subtrair o denominador do numerador dá o resto 3x^{2}+x-1; por isso a fração é 1 mais a fração com resto sobre o denominador.

Passo 3

Agora decomponho a fração própria por frações simples. Como o denominador é x^{2}(x+1)\), a forma certa é \[\frac{3x^{2}+x-1}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x+1) obtemos a identidade polinomial
3x^{2}+x-1 = A x(x+1) + B(x+1) + C x^{2}.
Expando o lado direito:
A x^{2}+A x + B x + B + C x^{2} = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Igualando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 3x^{2}+x-1, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 3,\\[4pt] A + B = 1,\\[4pt] B = -1. \end{cases}
Da terceira equação vem B=-1\]. Substituindo na segunda, \(A-1=1 então A=2. Finalmente C=3-A=1. Portanto a decomposição é
\frac{3x^{2}+x-1}{x^{2}(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}.]

Passo 4

Com isso o integrando fica
\frac{x^{3}+4 x^{2}+x-1}{x^{3}+x^{2}}=1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}.
Agora integro termo a termo (enquanto guardo em mente que a integral é imprópria nos extremos):
  • \displaystyle\int 1\,dx = x.
  • \displaystyle\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| (regra: \int \frac{1}{x}dx=\ln|x|).
  • \displaystyle\int \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) dx = \int -x^{-2} dx = +\frac{1}{x} (pois \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}).
  • \displaystyle\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
Uma primitiva comum é, portanto,
F(x)=x+2\ln|x|+\frac{1}{x}+\ln|x+1| + C.

Passo 5

Agora tratamos a integral imprópria em [-1,0]. Como a função não está definida em x=-1 e em x=0, interpretamos
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx
como soma de duas integrais próprias limites (escolho um ponto intermediário fixo, por exemplo c=-\tfrac12):
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = \lim_{a\to-1^{+}}\int_{a}^{-1/2} f(x)\,dx \;+\; \lim_{b\to 0^{-}}\int_{-1/2}^{b} f(x)\,dx.
Para que a integral original converja, cada um desses limites deve existir e ser finito. Se pelo menos um deles divergir (para \pm\infty), então a integral imprópria diverge.

Passo 6

Analiso o comportamento na vizinhança de x=0 — já basta que um dos limites diverja para concluir divergência total. Usando a primitiva F(x), a integral da metade direita é
\int_{-1/2}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(-1/2).
Agora faço b\to 0^{-}. Observe os termos de F(x) quando x\to 0^{-}:
  • x \to 0 tende a 0,
  • 2\ln|x| \to -\infty,
  • \dfrac{1}{x}\to -\infty (porque x vem por valores negativos pequenos),
  • \ln|x+1|\to \ln 1=0.
Em particular o termo \dfrac{1}{x} tende a -\infty e domina (é mais singular que o \ln|x|). Portanto
\lim_{b\to 0^{-}} F(b) = -\infty.
Isso implica que
\lim_{b\to 0^{-}} \int_{-1/2}^{b} f(x)\,dx = \lim_{b\to 0^{-}} (F(b)-F(-1/2)) = -\infty.
Como essa metade da integral diverge para -\infty, a integral imprópria total \displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx não converge (diverge para -\infty). (Para completar a intuição: também a vizinhança de x=-1 \ln|x+1|\to -\infty quando x\to-1^{+}, mas já não precisamos dessa segunda verificação porque uma das duas partes já diverge.)

Resposta

A integral diverge (especificamente, tende a -\infty).

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