Exercício 6. Resolva o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, lembro (e explico) as propriedades que usaremos:
-
Definição: a transformada de Laplace de uma função
é . Aqui é uma variável complexa; para nós trata-se de uma variável algébrica nas manipulações. -
Transformada das derivadas (propriedade fundamental para PVI):
Essas fórmulas vêm de integrar por partes quando se aplica
às derivadas; na prova você pode usá-las diretamente.
- Teorema do deslocamento no domínio
(usado para termos ):
onde
. No nosso caso temos
, ou seja
.
- Transformadas básicas que usaremos:
Passo 3
Aplico
em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas:
Agora coloco as condições iniciais
e
:
Passo 4
Agrupo os termos em
e constantes:
Portanto
Agora calculo
. Uso o deslocamento: primeiro
. Aplicando deslocamento com
(ou seja substituir
por
):
Logo
Passo 5
Note um ponto muito conveniente: usando completamento do quadrado
Portanto a expressão de
simplifica bastante: o denominador das duas parcelas é o mesmo
. Substituindo,
Passo 6
Para inverter a transformada, separo a primeira fração em termos mais familiares. Escrevo
, então
Assim
Passo 7
Agora aplico inversa da transformada termo a termo. Uso as transformadas conhecidas com deslocamento:
- Para
: corresponde à transformada de , porque
Portanto
- Para
: observe que . Assim
e
Passo 8
Falta inverter o termo com quadrado no denominador:
Para isso uso uma transformada conhecida (ou a propriedade
para obter a relação). A fórmula padrão é
No nosso caso com deslocamento
e
, primeiro aplicamos a fórmula para
e depois multiplicamos por
e pelo fator de deslocamento
. Calculando com
:
Aplicando deslocamento (substituição
) multiplica a primitiva por
. Multiplicando por
(que está numerador no nosso termo) obtemos
Simplificando os coeficientes:
logo
Passo 9
Somando as inversas dos termos obtidos nos passos anteriores, a solução
é
Calculo o coeficiente de
:
Portanto, escrevendo de forma limpa,
Se quiser, pode factorar
:
Você pode conferir rapidamente as condições iniciais: para
obtemos
, e diferenciando e avaliando em
obtém-se
, como pedido — boa checagem para ganhar confiança.]