Para cada função abaixo, faça o que se pede: I) Calcule a raiz; II) Determine se a função é par ou ímpar; III) Esboce o gráfico; IV) Faça o estudo dos seus sinais; V) Determine se a função é crescente ou decrescente; VI ) Determine o domínio e a imagem de cada função:
Passo 1
Este exercício trata de uma função afim (reta) e pede raiz, paridade, gráfico, sinais, monotonicidade, domínio e imagem. Para resolver, vamos usar: definição de raiz (f(x)=0), teste de paridade (f(-x)=f(x) ou f(-x)=-f(x)), forma reduzida y=mx+b para esboçar o gráfico, análise de inequações para sinais, sinal do coeficiente angular para monotonicidade e argumentos gerais de funções afins para domínio e imagem.
Passo 2
Para achar a raiz, igualamos f(x) a zero e resolvemos:
Logo,
A raiz da função é x = 2.
Passo 3
Para testar paridade, calculamos f(-x) e comparamos com f(x) e -f(x):
Como f(-x) \neq f(x) (que é 2x - 4) e f(-x) \neq -f(x) (que seria -2x + 4), a função não é nem par nem ímpar.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, usamos a forma y = 2x - 4. Os pontos-chave são:
– Intercepto em x (raiz): (2, 0)
– Intercepto em y (x = 0): (0, -4)
Traçamos a reta que passa por esses pontos com coeficiente angular 2 (reta relativamente inclinada para cima).
– Intercepto em x (raiz): (2, 0)
– Intercepto em y (x = 0): (0, -4)
Traçamos a reta que passa por esses pontos com coeficiente angular 2 (reta relativamente inclinada para cima).
Passo 5
Para o estudo de sinais, observamos que a única raiz é x = 2. Como a reta tem coeficiente angular positivo, f(x) muda de negativo para positivo em x = 2:
– f(x) < 0 se x < 2
– f(x) = 0 em x = 2
– f(x) > 0 se x > 2
– f(x) < 0 se x < 2
– f(x) = 0 em x = 2
– f(x) > 0 se x > 2
Passo 6
Como o coeficiente angular (m = 2) é positivo, a função é estritamente crescente para todo x. Em outras palavras, valores de x maiores sempre produzem f(x) maiores.
Passo 7
Funções afins estão definidas para todos os reais e, por terem coeficiente angular não-nulo, seus valores também varrem todos os reais. Portanto:
– Domínio: todos os números reais ( ).
– Imagem: todos os números reais ( ).
– Domínio: todos os números reais (
– Imagem: todos os números reais (
Resposta
Raiz: x = 2; a função não é nem par nem ímpar; gráfico: reta de coeficiente angular 2 e intercepto –4, passando por (0, –4) e (2, 0); sinais: f(x)<0 para x<2, f(x)>0 para x>2; crescente em
; domínio =
, imagem =
.