Prova de Calculo Dif. e Integral 3
Calcule a integral de superficie
, onde
é a porção do plano
, no 10 . octante, interior ao cilindro
.
Calcule a integral de superficie
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante e dentro do cilindro
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O plano dado é
, e queremos a parte desse plano que está no primeiro octante (
) e dentro do cilindro
. Vamos reescrever a equação do cilindro para facilitar:
. Completando o quadrado em
:
Isso representa um círculo de raio
com centro em
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Como
está no plano
, podemos resolver para
:
Então, a parametrização da superfície é:
Passo 4
Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área
. Podemos encontrar isso usando o vetor normal ao plano. O plano
tem vetor normal
. O elemento de área é dado por:
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral de superfície:
Aqui,
é a região no plano
que corresponde a
, ou seja, o círculo
no primeiro octante.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Primeiro, deslocamos o centro do círculo para a origem: seja
e
. A equação do círculo fica
. Em coordenadas polares:
Os limites para
são de
a
e para
de
a
.
Passo 7
Voltando às variáveis originais:
O Jacobiano da transformação é
, então o elemento
vira
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 9
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, calculamos a integral de
de
a
:
Pois a área positiva e negativa se cancelam.
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.