Prova de Calculo Dif. e Integral 3
Calcule a integral de superficie integral duplaS y d S, onde S é a porção do plano x+y+z=4, no 10 . octante, interior ao cilindro x^2+y^2=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral integral duplaS y , dS, onde S é a parte do plano x + y + z = 4 que está no primeiro octante e dentro do cilindro x^2 + y^2 = x. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região S. O plano dado é x + y + z = 4, e queremos a parte desse plano que está no primeiro octante ( x, y, z >= 0) e dentro do cilindro x^2 + y^2 = x. Vamos reescrever a equação do cilindro para facilitar: x^2 + y^2 = x Rightarrow x^2 - x + y^2 = 0. Completando o quadrado em x:
x^2 - x + 14 + y^2 = 14 Rightarrow (x - 12)^2 + y^2 = (12)^2
Isso representa um círculo de raio 12 com centro em (12, 0) no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S. Como S está no plano x + y + z = 4, podemos resolver para z:
z = 4 - x - y
Então, a parametrização da superfície é:
r(x, y) = (x, y, 4 - x - y)

Passo 4

Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área dS. Podemos encontrar isso usando o vetor normal ao plano. O plano x + y + z = 4 tem vetor normal n = lang<= 1, 1, 1 rang<=. O elemento de área é dado por:
dS = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 , dx , dy = raiz3 , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral de superfície:
integral duplaS y , dS = integral duplaD y cdot raiz3 , dx , dy = raiz3 integral duplaD y , dx , dy
Aqui, D é a região no plano xy que corresponde a S, ou seja, o círculo (x - 12)^2 + y^2 <= (12)^2 no primeiro octante.

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Primeiro, deslocamos o centro do círculo para a origem: seja u = x - 12 e v = y. A equação do círculo fica u^2 + v^2 <= (12)^2. Em coordenadas polares:
u = r cos theta, v = r sin theta
Os limites para r são de 0 a 12 e para theta de 0 a 2pi.

Passo 7

Voltando às variáveis originais:
x = u + 12 = r cos theta + 12, y = v = r sin theta
O Jacobiano da transformação é r, então o elemento dx , dy vira r , dr , dtheta.

Passo 8

Substituindo na integral:
raiz3 integral0^2pi integral0^12 y cdot r , dr , dtheta = raiz3 integral0^2pi integral0^12 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
raiz3 integral0^2pi sin theta integral0^12 r^2 , dr , dtheta

Passo 9

Calculando a integral interna:
integral0^12 r^2 , dr = [ r^33 ]0^12 = (12)^33 = 124
Então, a integral fica:
raiz3 cdot 124 integral0^2pi sin theta , dtheta

Passo 10

Agora, calculamos a integral de sin theta de 0 a 2pi:
integral0^2pi sin theta , dtheta = 0
Pois a área positiva e negativa se cancelam.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS y , dS é igual a 0.

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