Resolva a equação diferencial por variação de parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t arctg t

Passo 1

Estamos com a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' + y = e^t arctan(t)
Esse problema faz parte das equações diferenciais lineares de 2ª ordem e vamos usar o método de variação de parâmetros. Para isso precisamos: 1) achar a solução homogênea; 2) obter as soluções fundamentais y1 e y2; 3) calcular o Wronskiano; 4) determinar as funções u1 e u2 para montar a solução particular.

Passo 2

Achar a solução homogênea. Montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
cuja raiz dupla é r=1. Assim a solução homogênea é
yh(t) = (C1 + C2 t)e^t
Escolhemos y1(t)=e^t e y2(t)=t e^t como base de soluções.

Passo 3

Calcular o Wronskiano das duas soluções:
W(y1,y2) = y1 & y2 y1' & y2' = e^2t
Isso confirma a independência linear de y1 e y2.

Passo 4

Aplicar o método de variação de parâmetros: buscamos u1(t) e u2(t) de modo que
$$u_1’(t)y_1(t) + u_2’(t)y_2(t) = 0, \quad u_1’(t)y_1’(t) + u_2’(t)y_2’(t) = e^t\arctan(t).
$$

Passo 5

Usar as fórmulas fechadas para as derivadas:
$$u_1’(t) = -\frac{y_2(t)e^t\arctan(t)}{W(y_1,y_2)}, \quad u_2’(t) = \frac{y_1(t)e^t\arctan(t)}{W(y_1,y_2)}.
u1'(t) = -y2(t)e^tarctan(t)W(y1,y2), u2'(t) = y1(t)e^tarctan(t)W(y1,y2) áu_1’(t) = -t\arctan(t), \quad u_2’(t) = \arctan(t).
$$

Passo 6

Integrar as derivadas:
Para u1:
u1(t) = -integral tarctan(t),dt = -l(tfract^22arctan(t) - tfrac12(t-arctan(t))r)
Para u2:
u2(t) = integralarctan(t),dt = tarctan(t) - tfrac12ln(1+t^2)

Passo 7

Construir a solução particular e geral. Primeiro
yp(t) = u1(t)e^t + u2(t),t e^t,
e então
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t)e^t + e^tl(-tfract^22arctan(t) + tfract2 - tfrac12arctan(t) + tarctan(t) - tfrac12ln(1+t^2)r)
Agrupando, fica
y(t) = (C1 + C2 t)e^t + tfrace^t2l(t^2arctan(t) - arctan(t) + t - tln(1+t^2)r)

Resposta

A solução geral é:
y(t) = (C1 + C2 t)e^t + e^t2l(t^2arctan(t) - arctan(t) + t - tln(1+t^2)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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