Para cada função abaixo mostre que
não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de
e localizando as quinas no gráfico).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é suave (isto é, não é diferenciável) em
. Para isso usaremos (i) análise analítica, calculando as derivadas laterais em
, e (ii) análise geométrica, esboçando o gráfico e identificando a quina.
Passo 2
Observando que
podemos reescrever
Dessa forma, a derivada lateral pela esquerda em , a derivada de
não existe em
.
Passo 3
Geométricamente, o gráfico de
é um “V” com vértice em
. Para
temos uma reta de inclinação
que se encontra no ponto
e, para
, uma reta de inclinação
passando também por
. Esse vértice é uma quina, mostrando a não suavidade em
.
Resposta
A função
não é suave (não é diferenciável) em
.