Para cada função abaixo mostre que f não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico).
f(x)=|x+2|+1, x=-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x)=|x+2|+1
não é suave (isto é, não é diferenciável) em x=-2. Para isso usaremos (i) análise analítica, calculando as derivadas laterais em -2, e (ii) análise geométrica, esboçando o gráfico e identificando a quina.

Passo 2

Observando que
podemos reescrever
Dessa forma, a derivada lateral pela esquerda em , a derivada de não existe em .

Passo 3

Geométricamente, o gráfico de f é um “V” com vértice em (-2,1). Para x<-2 temos uma reta de inclinação -1 que se encontra no ponto (-2,1) e, para x>=-2, uma reta de inclinação 1 passando também por (-2,1). Esse vértice é uma quina, mostrando a não suavidade em x=-2.

Resposta

A função f(x)=|x+2|+1 não é suave (não é diferenciável) em x=-2.

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