Problema 1. Fórmula de Taylor, Máximos e Mínimos e Funções Convexas

Sejam f: R^2 R e g: R^2 R duas funções de classe C^2.
i) Mostre que, se existe a in R^2 tal que f(a)=g(a)=0 e d f(a)=d g(a)=0, e se d^2 f(x)=d^2 g(x) para todo x in R^2, então f=g.
ii) Suponha que f seja a função f(x, y)=integralx^y(3 t^2-1) d t. Ache os pontos críticos de f e diga se são máximos locais, mínimos locais ou nem máximo e nem mínimo local.
iii) Mostre que, se f é côncava (isto significa, por definição, que -f é convexa), e se x0 in R é um ponto crítico de f, então f tem um máximo global em x0.

Passo 1

O enunciado tem três partes sobre funções de classe C^2 em R^2 e R:
1. Provar que se f(a)=g(a)=0, df(a)=dg(a)=0 e d^2f(x)=d^2g(x) em todo x, então f=g.
2. Para
f(x,y)=integralx^y(3t^2-1),dt,
achar e classificar os pontos críticos (máximo, mínimo ou sela).
3. Mostrar que se f é côncava em R e x0 é ponto crítico, então x0 é máximo global.
Vamos usar propriedades de Taylor/Hessiana, derivadas parciais e o teste de segunda derivada em duas variáveis, e a desigualdade do plano tangente para funções côncavas.

Passo 2

Parte (i). Defina
h(x)=f(x)-g(x)
Então
h(a)=0, dh(a)=0, d^2h(x)=d^2f(x)-d^2g(x)=0 forall x
Como a Hessiana d^2h(x) é nula, segue que o gradiente dh(x) é constante. Mas dh(a)=0, logo dh(x)equiv0. Assim h é constante e vale h(a)=0. Portanto hequiv0 e f=g.

Passo 3

Parte (ii). Calcule a integral indefinida:
F(t)=integral(3t^2-1),dt=t^3-t
Logo
f(x,y)=F(y)-F(x)=y^3-y-l(x^3-xr)
As derivadas parciais são
fx(x,y)=-3x^2+1, fy(x,y)=3y^2-1
Zerando-as:
-3x^2+1=0implies x^2=tfrac13implies x=pmtfrac1raiz3,
3y^2-1=0implies y^2=tfrac13implies y=pmtfrac1raiz3
Portanto há quatro pontos críticos
l(pmtfrac1raiz3,,pmtfrac1raiz3r).

Passo 4

Calcule a Hessiana de f:
fxx=-6x, fyy=6y, fxy=fyx=0
O determinante é
De<a=fxxfyy-fxy^2=(-6x)(6y)= -36,x,y
Classificando em cada ponto:
l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r):
De<a=-36cdottfrac1raiz3cdottfrac1raiz3=-12<0 Rightarrow sela.
l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r):
De<a=-36cdot(-tfrac1raiz3)cdottfrac1raiz3=12>0 e fxx= -6(-tfrac1raiz3)=2raiz3>0 Rightarrow mínimo local.
l(tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r):
De<a=-36cdottfrac1raiz3cdot(-tfrac1raiz3)=12>0 e fxx=-6(tfrac1raiz3)=-2raiz3<0 Rightarrow máximo local.
l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r):
De<a=-36cdot(-tfrac1raiz3)cdot(-tfrac1raiz3)=-12<0 Rightarrow sela.

Passo 5

Parte (iii). Se f é côncava em R, então para todo x vale a desigualdade do plano tangente:
f(x)<= f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Se x0 é ponto crítico, f'(x0)=0, logo
f(x)<= f(x0)forall x,
isto é, x0 é ponto de máximo global.

Resposta

(i) f=g.
(ii) Pontos críticos e classificação:
l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) — sela;
l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) — mínimo local;
l(tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) — máximo local;
l(-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) — sela.
(iii) Em função côncava, todo ponto crítico é máximo global.

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