Problema 1. Fórmula de Taylor, Máximos e Mínimos e Funções Convexas
Sejam
e
duas funções de classe
.
i) Mostre que, se existe
tal que
e
, e se
para todo
, então
.
ii) Suponha que
seja a função
. Ache os pontos críticos de
e diga se são máximos locais, mínimos locais ou nem máximo e nem mínimo local.
iii) Mostre que, se
é côncava (isto significa, por definição, que
é convexa), e se
é um ponto crítico de
, então
tem um máximo global em
.
i) Mostre que, se existe
ii) Suponha que
iii) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado tem três partes sobre funções de classe
em
e
:
. Provar que se
,
e
em todo
, então
.
. Para
achar e classificar os pontos críticos (máximo, mínimo ou sela).
. Mostrar que se
é côncava em
e
é ponto crítico, então
é máximo global.
Vamos usar propriedades de Taylor/Hessiana, derivadas parciais e o teste de segunda derivada em duas variáveis, e a desigualdade do plano tangente para funções côncavas.
Vamos usar propriedades de Taylor/Hessiana, derivadas parciais e o teste de segunda derivada em duas variáveis, e a desigualdade do plano tangente para funções côncavas.
Passo 2
Parte (i). Defina
Então
Como a Hessiana
é nula, segue que o gradiente
é constante. Mas
, logo
. Assim
é constante e vale
. Portanto
e
.
Passo 3
Parte (ii). Calcule a integral indefinida:
Logo
As derivadas parciais são
Zerando-as:
Portanto há quatro pontos críticos
.
Passo 4
Calcule a Hessiana de
:
O determinante é
Classificando em cada ponto:
Passo 5
Parte (iii). Se
é côncava em
, então para todo
vale a desigualdade do plano tangente:
Se
é ponto crítico,
, logo
isto é,
é ponto de máximo global.
Resposta
(i)
.
(ii) Pontos críticos e classificação:
— sela;
— mínimo local;
— máximo local;
— sela.
(iii) Em função côncava, todo ponto crítico é máximo global.
(ii) Pontos críticos e classificação:
(iii) Em função côncava, todo ponto crítico é máximo global.