Para cada função abaixo mostre que f não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico).
f(x)=|sen(x)|, x=pi

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x)=|sin(x)|
não é suave (ou seja, não tem derivada única) em x=pi.
Conteúdo: diferenciabilidade e análise de derivadas laterais.
O que vamos fazer:
1. Calcular as derivadas laterais de f em x=pi.
2. Mostrar que elas são diferentes, logo f não é diferenciável em pi.
3. Fazer uma análise geométrica do gráfico de f e apontar a quina em pi.

Passo 2

Análise analítica: derivadas laterais em x=pi.
Para x perto de pi temos
  • Se x<pi, então sin(x)>=0 (pois em [0,pi] o seno é não-negativo) e f(x)=|sin(x)|=sin(x) Portanto f'-(pi) =limhto0^-f(pi+h)-f(pi)h =limhto0^-sin(pi+h)-0h =limhto0^--sin(h)h =-cos(0) =-1
  • Se x>pi, então sin(x)<=0 (em [pi,2pi] o seno é não-positivo) e f(x)=|sin(x)|=-sin(x) Logo f'+(pi) =limhto0^+f(pi+h)-f(pi)h =limhto0^+-sin(pi+h)-0h =limhto0^+sin(h)h =cos(0) =1
Como f'-(pi)=-1neq f'+(pi)=1, a derivada não existe em pi e, portanto, f não é suave aí.

Passo 3

Análise geométrica: esboço de em torno de .
  • Para o gráfico é a “familiar” cópula de , zero em e em , pico em .
  • Para o gráfico é o arco de , zero em e em , pico em .
    Em esses dois arcos se encontram em com tangentes de inclinações diferentes ( à esquerda e à direita), formando uma quina (cúspide).
Esboço ASCII simplificado perto de :
   \(1\)    /\      /\  
       /  \    /  \  
   \(0\) --\(+\)---\--/----\--\(\to\) x  
           \(\pi\) 
Na seta em vê-se claramente a quina em .

Resposta

f não é suave em x=pi porque as derivadas laterais valem
f'-(pi)=-1 e f'+(pi)=1,
diferentes entre si, e no gráfico há uma quina em (pi,0).

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