Para cada função abaixo mostre que
não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de
e localizando as quinas no gráfico).
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
não é suave (ou seja, não tem derivada única) em
.
Conteúdo: diferenciabilidade e análise de derivadas laterais.
O que vamos fazer:
. Calcular as derivadas laterais de
em
.
. Mostrar que elas são diferentes, logo
não é diferenciável em
.
. Fazer uma análise geométrica do gráfico de
e apontar a quina em
.
Conteúdo: diferenciabilidade e análise de derivadas laterais.
O que vamos fazer:
Passo 2
Análise analítica: derivadas laterais em
.
Para perto de
temos
Para
- Se
, então (pois em o seno é não-negativo) e Portanto - Se
, então (em o seno é não-positivo) e Logo
Como
, a derivada não existe em
e, portanto,
não é suave aí.
Passo 3
Análise geométrica: esboço de
em torno de
.
- Para
o gráfico é a “familiar” cópula de , zero em e em , pico em . - Para
o gráfico é o arco de , zero em e em , pico em .
Emesses dois arcos se encontram em com tangentes de inclinações diferentes ( à esquerda e à direita), formando uma quina (cúspide).
Esboço ASCII simplificado perto de
:
\(1\) /\ /\
/ \ / \
\(0\) --\(+\)---\--/----\--\(\to\) x
\(\pi\)
Na seta em
vê-se claramente a quina em
.
Resposta
diferentes entre si, e no gráfico há uma quina em
.