Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x 0 raiz1+sen(x)-raiz1-sen(x)2^3 x-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0raiz1+sin(x)-raiz1-sin(x)2^3x-1
O conteúdo envolve limites fundamentais:
limuto0sin(u)u=1,
limhto0a^h-1h=ln(a) e
limuto0raiz1+u-raiz1-uu=1.

Passo 2

Analisando o numerador, faça u=sin(x). Como sin(x)to0 quando xto0, vale
limxto0raiz1+sin(x)-raiz1-sin(x)sin(x) =limuto0raiz1+u-raiz1-uu=1
Logo, para x pequeno,
raiz1+sin(x)-raiz1-sin(x)sim sin(x)

Passo 3

No denominador, use
2^3x-1=e^3xln(2)-1
e o limite fundamental limhto0e^h-1h=1. Assim,
limxto02^3x-1x =limxto0e^3xln(2)-1x =3ln(2)
Ou seja, para x pequeno,
2^3x-1sim 3xln(2)

Passo 4

Com as aproximações acima, para xto0 temos
raiz1+sin(x)-raiz1-sin(x)2^3x-1 sim sin(x)3xln(2) =13ln(2);sin(x)x
E como limxto0sin(x)x=1, o limite procurado é
13ln(2)

Resposta

13ln(2)

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