Para cada função abaixo mostre que f não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico).
f(x)=|2 x-3|, x=3 / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=lvert 2x-3rvert
e pede para mostrar que f não é suave em x=tfrac32. Isso significa verificar que a derivada à esquerda em x=tfrac32 é diferente da derivada à direita, e depois ilustrar geometricamente, esboçando o gráfico e identificando a quina no vértice.

Passo 2

Para a análise analítica, escrevemos
O valor em , mas não entra no cálculo das derivadas laterais.
Calculemos então
Como , concluímos que não é diferenciável em , logo não é suave aí.]

Passo 3

Para a análise geométrica, note que f(x)=|2x-3| é o gráfico de um “V” com vértice em
l(tfrac32,0r),
na qual a ramificação à esquerda é a reta de coeficiente angular -2 e à direita a reta de coeficiente angular 2. Esse encontro de duas retas de inclinações distintas forma uma quina (vértice pontudo), o que impede suavidade do gráfico.

Resposta

f não é suave em x=tfrac32 porque as derivadas laterais são f'-(tfrac32)=-2 e f'+(tfrac32)=2 e o gráfico apresenta uma quina em l(tfrac32,0r).

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