Para cada função abaixo mostre que
não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de
e localizando as quinas no gráfico).
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que
não é suave em
. Isso significa verificar que a derivada à esquerda em
é diferente da derivada à direita, e depois ilustrar geometricamente, esboçando o gráfico e identificando a quina no vértice.
Passo 2
Para a análise analítica, escrevemos
O valor em , mas não entra no cálculo das derivadas laterais.
Calculemos então
Como
, concluímos que
não é diferenciável em
, logo não é suave aí.]
Passo 3
Para a análise geométrica, note que
é o gráfico de um “V” com vértice em
na qual a ramificação à esquerda é a reta de coeficiente angular
e à direita a reta de coeficiente angular
. Esse encontro de duas retas de inclinações distintas forma uma quina (vértice pontudo), o que impede suavidade do gráfico.