Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x 2 3^x^2-4-1x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto23^x^2-4-1x-2
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada via limite fundamental, já que a expressão tem a forma
f(x)-f(2)x-2,
onde f(x)=3^x^2-4.

Passo 2

Reconhecemos que
limxto23^x^2-4-1x-2 =limxto2f(x)-f(2)x-2=f'(2)
Primeiro calculamos f(2):
f(2)=3^2^2-4=3^0=1

Passo 3

Agora derivamos f(x)=3^x^2-4 usando a regra da cadeia. Se u(x)=x^2-4, então
ddx3^u =3^uln(3),u'
Como u'(x)=2x, obtemos
f'(x)=3^x^2-4ln(3)cdot2x =2xln(3),3^x^2-4

Passo 4

Basta avaliar em x=2:
f'(2)=2cdot2ln(3),3^0 =4ln(3)

Resposta

limxto23^x^2-4-1x-2=4ln(3)

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