Derive as funções:
f(x)=sec ^2 x+tg^2 x----[R: f^prime(x)=4 sec ^2 x tg x]

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=sec^2x+tan^2x
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e as derivadas básicas das funções trigonométricas sec x e tan x.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo sec^2x. Pela regra da cadeia, se u(x)=sec x, então
ddxl(u(x)^2r)=2,u(x),u'(x)
Como u'(x)=ddx(sec x)=sec xtan x, obtemos
ddxl(sec^2xr) =2,sec xcdot(sec xtan x) =2,sec^2xtan x

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo tan^2x. De novo usamos a regra da cadeia com v(x)=tan x:
ddxl(v(x)^2r)=2,v(x),v'(x),
e v'(x)=ddx(tan x)=sec^2x. Logo
ddxl(tan^2xr) =2,tan xcdotsec^2x =2,sec^2xtan x

Passo 4

Somando as duas derivadas, temos
f'(x) =2,sec^2xtan x + 2,sec^2xtan x =4,sec^2xtan x

Resposta

f'(x)=4,sec^2x,tan x

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