Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Seja
definida no aberto
. Se a função
dada pela expressão
for de classe
, então
é de classe
. (Dica: Mostre que
é contínua, ache uma função
conveniente e utiliza o teorema das funções implícitas).
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
(aqui desconhecida) e define
sabendo que
é de classe
. Queremos mostrar que então
também é
. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema das Funções Implícitas, aplicando-o a uma função de duas variáveis em que a derivada parcial em relação à segunda variável nunca zera.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
Note que
é
e
Logo
é estritamente crescente e \emph{um difeomorfismo} de
sobre
.
Passo 3
Construa a função
Como
e
são
, segue que
é
. Além disso, para todo
vale
Passo 4
Calcule a derivada parcial de
em relação a
:
Em particular, em
temos
. Portanto, o Teorema das Funções Implícitas garante que, para cada ponto
, existe uma vizinhança onde a equação
define
como função
de
. Por unicidade dessa função implícita e porque
já satisfaz
, concluímos que
coincide localmente com essa função implícita
.
Resposta
Logo,
é de classe
em todo
.