Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Seja f: Omega R definida no aberto Omega subset R^n. Se a função g: Omega R dada pela expressão g(x)=integral0^f(x)(1+t^2) d t for de classe C^infty, então f é de classe C^infty. (Dica: Mostre que g é contínua, ache uma função h: Omega times R R conveniente e utiliza o teorema das funções implícitas).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:OmegatoR (aqui desconhecida) e define
g(x)=integral0^f(x)l(1+t^2r),dt,
sabendo que g é de classe C^infty. Queremos mostrar que então f também é C^infty. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema das Funções Implícitas, aplicando-o a uma função de duas variáveis em que a derivada parcial em relação à segunda variável nunca zera.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F:RtoR, F(y)=integral0^yl(1+t^2r),dt
Note que F é C^infty e
F'(y)=1+y^2>0para todo y
Logo F é estritamente crescente e \emph{um difeomorfismo} de R sobre R.

Passo 3

Construa a função
h:OmegatimesRtoR, h(x,y)=F(y)-g(x)
Como F e g são C^infty, segue que h é C^infty. Além disso, para todo xinOmega vale
hl(x,f(x)r) =Fl(f(x)r)-g(x) =integral0^f(x)(1+t^2),dt -integral0^f(x)(1+t^2),dt =0

Passo 4

Calcule a derivada parcial de h em relação a y:
partial hpartial y(x,y) =F'(y) =1+y^2
Em particular, em y=f(x) temos partialy h(x,f(x))=1+f(x)^2>0. Portanto, o Teorema das Funções Implícitas garante que, para cada ponto (x0,f(x0)), existe uma vizinhança onde a equação
h(x,y)=0
define y como função C^infty de x. Por unicidade dessa função implícita e porque f já satisfaz h(x,f(x))=0, concluímos que f coincide localmente com essa função implícita C^infty.

Resposta

Logo, f é de classe C^infty em todo Omega.

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