Encontre a série de senos para f(x)= \begin{cases}1, & 0<x<\pi, \\\\ 0, & x=0, x=\pi .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases}1,&0<x<\pi,\\\ 0,&x=0,\;x=\pi,\end{cases}
e pede a série de senos (série trigonométrica formada só por termos \sin(nx)) que representa f no intervalo 0<x<\pi.
Informações relevantes:
  • O domínio de interesse é o intervalo (0,\pi).
  • A função vale 1 em todo o intervalo aberto (0,\pi) e está definida com valor 0 apenas nas extremidades x=0 e x=\pi.
  • Quer-se a expansão em série de senos, isto é, uma soma da forma \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx).

Passo 2

Por que usar só senos e qual é a forma geral da série de senos?
  • As funções \sin(nx)\) são nulas em \(x=0\) e \(x=\pi\), logo são uma base natural para expandir funções em \((0,\pi)\) que eventualmente respeitem condições de valor nos extremos. - A forma geral da série de senos é \[\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx),
onde os coeficientes b_n são obtidos usando a propriedade de ortogonalidade das funções seno no intervalo [0,\pi].
Explicando a ortogonalidade (passo-a-passo, com uma identidade útil):
Usamos a identidade
\sin(mx)\sin(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)\bigr).
Integramos ambos os lados de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos((m-n)x)\,dx-\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos((m+n)x)\,dx.
Para m\neq n os dois integrandos \cos(kx) com k=m\pm n são funções com período que faz a integral sobre um número inteiro de meio-períodos, portanto cada integral é zero, resultando
\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=0\quad\text{se }m\neq n.
Para m=n a primeira integral vira \int_{0}^{\pi}1\,dx=\pi enquanto a segunda é \int_{0}^{\pi}\cos(2nx)\,dx=0; assim
\int_{0}^{\pi}\sin^2(nx)\,dx=\frac{\pi}{2}.
Resumindo a ortogonalidade:
\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx= \begin{cases} 0,&m\neq n,\\[4pt] \displaystyle\frac{\pi}{2},&m=n. \end{cases}
A partir daí obtemos a fórmula dos coeficientes: multiplica-se a série proposta por \sin(nx)\] e integra-se de \(0 a \pi; usando ortogonalidade, todos os termos desaparecem exceto o n-ésimo. Isso dá
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Nesta fórmula: b_n é o coeficiente do termo \sin(nx); a integral no numerador mede a “projeção” de f sobre \sin(nx); o fator \tfrac{2}{\pi} normaliza pela norma de \sin(nx) (que é \sqrt{\pi/2}).]

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao caso f(x)=1 em (0,\pi). Calcular
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Avaliaremos a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} =-\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n} =-\frac{(-1)^n-1}{n}=\frac{1-(-1)^n}{n}.
Aqui foi usada a identidade \cos(n\pi)=(-1)^n e \cos(0)=1.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}=\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi n}.

Passo 4

Simplificação dos coeficientes:
  • Se n é par então (-1)^n=1 e 1-(-1)^n=0, logo b_n=0 para n par.
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e 1-(-1)^n=2, logo para n=2k+1 temos
b_{2k+1}=\frac{2\cdot 2}{\pi(2k+1)}=\frac{4}{\pi(2k+1)}.
Portanto a série de senos contém apenas termos ímpares:
\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Passo 5

Sobre convergência e valores nos extremos:
  • A expansão obtida converge para f(x) em todo ponto 0<x<\pi (a função é limitada e tem apenas descontinuidades nas extremidades, condições de Dirichlet garantem convergência pontual no intervalo aberto).
  • Em x=0 e x=\pi a série de senos converge para a média das limites laterais da extensão periódica ímpar de f, que é 0; isto é consistente com a definição dada no enunciado onde f(0)=f(\pi)=0.

Resposta

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}\sin\bigl((2k+1)x\bigr),\qquad 0<x<\pi.

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