e pede a série de senos (série trigonométrica formada só por termos \sin(nx)) que representa f no intervalo 0<x<\pi.
Informações relevantes:
O domínio de interesse é o intervalo (0,\pi).
A função vale 1 em todo o intervalo aberto (0,\pi) e está definida com valor 0 apenas nas extremidades x=0 e x=\pi.
Quer-se a expansão em série de senos, isto é, uma soma da forma \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx).
Passo 2
Por que usar só senos e qual é a forma geral da série de senos?
As funções \sin(nx)\) são nulas em \(x=0\) e \(x=\pi\), logo são uma base natural para expandir funções em \((0,\pi)\) que eventualmente respeitem condições de valor nos extremos.
- A forma geral da série de senos é
\[\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx),
onde os coeficientes b_n são obtidos usando a propriedade de ortogonalidade das funções seno no intervalo [0,\pi].
Explicando a ortogonalidade (passo-a-passo, com uma identidade útil):
Usamos a identidade
Para m\neq n os dois integrandos \cos(kx) com k=m\pm n são funções com período que faz a integral sobre um número inteiro de meio-períodos, portanto cada integral é zero, resultando
\int_{0}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=0\quad\text{se }m\neq n.
Para m=n a primeira integral vira \int_{0}^{\pi}1\,dx=\pi enquanto a segunda é \int_{0}^{\pi}\cos(2nx)\,dx=0; assim
A partir daí obtemos a fórmula dos coeficientes: multiplica-se a série proposta por \sin(nx)\] e integra-se de \(0 a \pi; usando ortogonalidade, todos os termos desaparecem exceto o n-ésimo. Isso dá
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Nesta fórmula: b_n é o coeficiente do termo \sin(nx); a integral no numerador mede a “projeção” de f sobre \sin(nx); o fator \tfrac{2}{\pi} normaliza pela norma de \sin(nx) (que é \sqrt{\pi/2}).]
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao caso f(x)=1 em (0,\pi). Calcular
A expansão obtida converge para f(x) em todo ponto 0<x<\pi (a função é limitada e tem apenas descontinuidades nas extremidades, condições de Dirichlet garantem convergência pontual no intervalo aberto).
Em x=0 e x=\pi a série de senos converge para a média das limites laterais da extensão periódica ímpar de f, que é 0; isto é consistente com a definição dada no enunciado onde f(0)=f(\pi)=0.