Encontre os coeficientes de Fourier da função f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, \quad-\pi \leqslant x<0 \\\\ -1, \quad 0 \leqslant x<\pi \\\ f(x+2 \pi)=f(x) .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 2\pi\) definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} 1, & -\pi \le x<0,\\[4pt] -1, & 0\le x<\pi, \end{cases} \qquad f(x+2\pi)=f(x).
O que se pede: encontrar os coeficientes da série de Fourier de f\]; ou seja, calcular \(\;a_0, \;a_n e \;b_n para n\ge 1.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é 2\pi-periódica.
  • É uma função constante por pedaços (retângulo/square wave).
  • Os valores em cada intervalo são numéricos simples ( 1 e -1), o que facilita integrar.]

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral da série de Fourier para função 2\pi-periódica (isso é a “ferramenta” que sempre usamos):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
O que esses coeficientes significam, em palavras simples:
  • a_0 é a média (média aritmética) da função no período.
  • a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(nx).
  • b_n mede a “projeção” de f sobre \sin(nx).
    Essas integrais servem para extrair quanto de cada modo trigonométrico (cada \cos(nx) e \sin(nx)) existe em f.

Passo 3

Calcular a_0. Como f é constante em cada intervalo, dá para quebrar a integral:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}1\,dx+\int_{0}^{\pi}(-1)\,dx\Bigr).
Agora calcular cada integral:
\int_{-\pi}^{0}1\,dx = [x]_{-\pi}^{0}=0-(-\pi)=\pi,
\int_{0}^{\pi}(-1)\,dx = [-x]_{0}^{\pi}= -\pi - 0 = -\pi.
Somando: \pi+(-\pi)=0. Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 0=0.

Passo 4

Calcular a_n. Observação de simetria (muito útil para poupar contas): verificar paridade de f.
Para x\in(0,\pi) temos f(x)=-1 e para -x\in(-\pi,0) temos f(-x)=1. Logo
f(-x)=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar.
Sabendo que \cos(nx) é função par (isto é, \cos(n(-x))=\cos(nx)), o produto f(x)\cos(nx) é ímpar (ímpar × par = ímpar). A integral de uma função ímpar sobre o intervalo simétrico [-\pi,\pi] é zero. Assim, sem precisar calcular diretamente,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx = 0\quad\text{para todo }n\ge1.
Se preferir ver com contas, pode-se dividir a integral em dois pedaços e verificar que se cancelam; a simetria já garante o cancelamento.

Passo 5

Calcular b_n. Aqui \sin(nx) é função ímpar. Produto ímpar × ímpar = função par, então a integral de \,f(x)\sin(nx) sobre [-\pi,\pi] pode ser reduzida a duas vezes a integral em [0,\pi]:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Para x\in(0,\pi) temos f(x)=-1. Substituindo:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-1)\sin(nx)\,dx =-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Agora calcular a integral de \sin(nx):
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx = \biggl[-\frac{\cos(nx)}{n}\biggr]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n} = -\frac{(-1)^n - 1}{n}.
Portanto
b_n = -\frac{2}{\pi}\cdot\biggl(-\frac{(-1)^n - 1}{n}\biggr) = \frac{2}{\pi n}\bigl((-1)^n - 1\bigr).
Esse resultado pode ser simplificado observando os dois casos possíveis para n:
  • Se n é par, então (-1)^n=1. Substituindo:
b_n = \frac{2}{\pi n}(1-1)=0.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1. Substituindo:
b_n = \frac{2}{\pi n}(-1-1)=\frac{2}{\pi n}(-2)=-\frac{4}{\pi n}.
Resumo: b_n=0 para n par, e b_n=-\dfrac{4}{\pi n} para n ímpar.

Passo 6

Interpretação e série: como a_0=0 e a_n=0 para todo n, a série de Fourier de f tem apenas termos seno. Podemos escrever (para referência):
f(x)\sim \sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\left(-\frac{4}{\pi n}\right)\sin(nx) = -\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.í
Isso confirma que f é (menos) a onda quadrada clássica obtida somando senos de frequências ímpares.

Resposta

a_0=0
a_n=0 para todo n\ge 1
b_n=0 se n é par; \qquad b_n=-\dfrac{4}{\pi n} se n é ímpar.

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