Encontre os coeficientes de Fourier da função f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, \quad-\pi \leqslant x<0 \\\\ -1, \quad 0 \leqslant x<\pi \\\ f(x+2 \pi)=f(x) .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período 2\pi\) definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} 1, & -\pi \le x<0,\\[4pt] -1, & 0\le x<\pi, \end{cases} \qquad f(x+2\pi)=f(x).
O que se pede: encontrar os coeficientes da série de Fourier de f\]; ou seja, calcular
\(\;a_0, \;a_n e \;b_n para n\ge 1.
Informações relevantes do enunciado:
A função é 2\pi-periódica.
É uma função constante por pedaços (retângulo/square wave).
Os valores em cada intervalo são numéricos simples (1 e -1), o que facilita integrar.]
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral da série de Fourier para função 2\pi-periódica (isso é a “ferramenta” que sempre usamos):
O que esses coeficientes significam, em palavras simples:
a_0 é a média (média aritmética) da função no período.
a_n mede a “projeção” de f sobre \cos(nx).
b_n mede a “projeção” de f sobre \sin(nx).
Essas integrais servem para extrair quanto de cada modo trigonométrico (cada \cos(nx) e \sin(nx)) existe em f.
Passo 3
Calcular a_0. Como f é constante em cada intervalo, dá para quebrar a integral:
Calcular a_n. Observação de simetria (muito útil para poupar contas): verificar paridade de f.
Para x\in(0,\pi) temos f(x)=-1 e para -x\in(-\pi,0) temos f(-x)=1. Logo
f(-x)=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar.
Sabendo que \cos(nx) é função par (isto é, \cos(n(-x))=\cos(nx)), o produto f(x)\cos(nx) é ímpar (ímpar × par = ímpar). A integral de uma função ímpar sobre o intervalo simétrico [-\pi,\pi] é zero. Assim, sem precisar calcular diretamente,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx = 0\quad\text{para todo }n\ge1.
Se preferir ver com contas, pode-se dividir a integral em dois pedaços e verificar que se cancelam; a simetria já garante o cancelamento.
Passo 5
Calcular b_n. Aqui \sin(nx) é função ímpar. Produto ímpar × ímpar = função par, então a integral de \,f(x)\sin(nx) sobre [-\pi,\pi] pode ser reduzida a duas vezes a integral em [0,\pi]: