Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
f(x)=x^{4}-6 x^{2}+2, [-1,0]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=x^{4}-6x^{2}+2 no intervalo [-1,0]:
  • Verificar se o Teorema de Bolzano (teorema do valor intermédio) garante a existência de raiz em [-1,0].
  • Caso haja existência garantida, decidir se a raiz é única e justificar essa unicidade usando a derivada.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{4}-6x^{2}+2.
  • O intervalo considerado é [-1,0].

Passo 2

Primeiro, lembrar o que diz o Teorema de Bolzano (numa versão útil para provas):
  • Se g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Agora aplicando ao nosso caso:
  • f é polinômio, logo é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [-1,0].
  • Calcular os valores nos extremos (vou mostrar as contas): f(-1)=(-1)^{4}-6(-1)^{2}+2=1-6+2=-3.
f(0)=0^{4}-6\cdot0^{2}+2=2.
  • Observa-se que f(-1)=-3 é negativo e f(0)=2 é positivo, portanto f(-1)\cdot f(0)=-3\cdot2=-6<0.
Conclusão deste passo: pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um c\in(-1,0) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, a existência de raiz no intervalo [-1,0] está garantida.

Passo 3

Agora vamos decidir se a raiz é única, usando a derivada. Ideia que vou usar (explicando como em prova): se a função for estritamente monótona (por exemplo, estritamente crescente) em [-1,0], então não pode ter duas raízes distintas nesse intervalo (porque uma função estritamente crescente não toma o mesmo valor em dois pontos diferentes).
Calculemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-6x^{2}+2\bigr)=4x^{3}-12x.
Fatorando para analisar o sinal:
f'(x)=4x^{3}-12x=4x(x^{2}-3).
Aqui 4 é positivo sempre; restam os fatores x e x^{2}-3.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) em [-1,0]:
  • Para x\in[-1,0] temos x\le 0. Em particular, para x\in(-1,0) temos x<0.
  • Para qualquer x\in[-1,0] temos x^{2}\le 1, então x^{2}-3\le -2, isto é, x^{2}-3<0.
  • Portanto, para x\in(-1,0) temos x<0 e x^{2}-3<0. O produto x\cdot(x^{2}-3) é então positivo (negativo vezes negativo = positivo).
  • Multiplicando por 4>0, obtemos f'(x)>0 para todo x\in(-1,0).
  • Em x=0 temos f'(0)=0, mas isso não atrapalha: o que importa é que em toda a parte interior do intervalo a derivada é estritamente positiva.
Conclusão deste passo: f'(x)>0 em todo o intervalo aberto (-1,0), logo f é estritamente crescente em [-1,0] (estritamente crescente em (-1,0) e contínua no fechado bastam).

Passo 5

Usar monotonicidade para a unicidade:
  • Se f é estritamente crescente em [-1,0], então não pode existir a<b em [-1,0] com f(a)=f(b). Em particular, não pode haver duas raízes distintas em [-1,0].
  • Já sabemos pela Bolzano que existe pelo menos uma raiz; portanto, existe exatamente uma raiz em [-1,0].

Resposta

Sim, o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos uma raiz em [-1,0].
A raiz é única em [-1,0].

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