Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no intervalo
:
- Verificar se o Teorema de Bolzano (teorema do valor intermédio) garante a existência de raiz em
. - Caso haja existência garantida, decidir se a raiz é única e justificar essa unicidade usando a derivada.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que diz o Teorema de Bolzano (numa versão útil para provas):
- Se
é contínua em um intervalo fechado e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um tal que .
Agora aplicando ao nosso caso:
-
é polinômio, logo é contínua em todo , em particular em . - Calcular os valores nos extremos (vou mostrar as contas):
- Observa-se que
é negativo e é positivo, portanto .
Conclusão deste passo: pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um
tal que
. Ou seja, a existência de raiz no intervalo
está garantida.
Passo 3
Agora vamos decidir se a raiz é única, usando a derivada. Ideia que vou usar (explicando como em prova): se a função for estritamente monótona (por exemplo, estritamente crescente) em
, então não pode ter duas raízes distintas nesse intervalo (porque uma função estritamente crescente não toma o mesmo valor em dois pontos diferentes).
Calculemos a derivada de
:
Fatorando para analisar o sinal:
Aqui
é positivo sempre; restam os fatores
e
.
Passo 4
Analisar o sinal de
em
:
- Para
temos . Em particular, para temos . - Para qualquer
temos , então , isto é, . - Portanto, para
temos e . O produto é então positivo (negativo vezes negativo = positivo). - Multiplicando por
, obtemos para todo . - Em
temos , mas isso não atrapalha: o que importa é que em toda a parte interior do intervalo a derivada é estritamente positiva.
Conclusão deste passo:
em todo o intervalo aberto
, logo
é estritamente crescente em
(estritamente crescente em
e contínua no fechado bastam).
Passo 5
Usar monotonicidade para a unicidade:
- Se
é estritamente crescente em , então não pode existir em com . Em particular, não pode haver duas raízes distintas em . - Já sabemos pela Bolzano que existe pelo menos uma raiz; portanto, existe exatamente uma raiz em
.
Resposta
Sim, o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos uma raiz em
.
A raiz é única em .
A raiz é única em