Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no intervalo dado:
- Verificar se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz em
. - Se o Teorema garantir existência, decidir se a raiz é única e justificar usando a derivada.
Dados fornecidos:
- A função é
. - O intervalo considerado é
.
Passo 2
Condição necessária para aplicar o Teorema de Bolzano: a função deve ser contínua em
. Vamos verificar isso.
Explicação rápida (porquê): o Teorema de Bolzano exige continuidade porque só assim a imagem do intervalo
é um intervalo em
e, se há troca de sinal nas extremidades, o valor zero fica “entre” os valores das extremidades.
Verificação: a função
é contínua em
; as funções
e
são contínuas em todo
. Soma de funções contínuas é contínua, logo
é contínua em
, em particular em
. Portanto a hipótese de continuidade está satisfeita.
Passo 3
Calcular
nas extremidades do intervalo para checar troca de sinal (isso é o núcleo do uso do Teorema de Bolzano).
Cálculo de
:
Logo
.
Cálculo de
:
Sabendo que
e usando a aproximação
, obtemos
Portanto
.
Passo 4
Aplicação do Teorema de Bolzano.
Como
é contínua em
e
enquanto
, há uma troca de sinal nas extremidades. Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um
tal que
. Ou seja, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 5
Agora verificar unicidade usando a derivada: ideia geral — se
for estritamente negativa (ou positiva) no intervalo, então
é estritamente monótona e não pode ter mais de uma raiz.
Calcular a derivada:
Passo 6
Analisar o sinal de
em
.
- Para
temos então e , portanto . Assim para todo . - Em
temos .
Conclusão sobre monotonicidade (explicação detalhada): para quaisquer
com
, o Teorema do Valor Médio garante existência de
tal que
Como
, temos
, então
e logo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em
. (O fato de
em um ponto isolado não impede a estrita decrescimento no intervalo como explicado pelo MVT.)
Passo 7
Conclusão sobre unicidade.
Se
é estritamente decrescente em
, então não pode assumir o mesmo valor zero em dois pontos distintos do intervalo. Portanto a raiz encontrada por Bolzano é única.
Resposta
Existe pelo Teorema de Bolzano pelo menos uma raiz em
.
A raiz é única, pois para todo
, o que torna
estritamente decrescente em
.
A raiz é única, pois