Para cada função abaixo, verifique se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz no intervalo indicado. Se garantir, determine se a raiz é única (justifique usando a derivada).
f(x)=\ln x-x+2, [1,4]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f no intervalo dado:
  • Verificar se o Teorema de Bolzano garante a existência de raiz em [1,4].
  • Se o Teorema garantir existência, decidir se a raiz é única e justificar usando a derivada.
Dados fornecidos:
  • A função é f(x)=\ln x - x + 2.
  • O intervalo considerado é [1,4].

Passo 2

Condição necessária para aplicar o Teorema de Bolzano: a função deve ser contínua em [1,4]. Vamos verificar isso.
Explicação rápida (porquê): o Teorema de Bolzano exige continuidade porque só assim a imagem do intervalo [1,4] é um intervalo em \mathbb{R} e, se há troca de sinal nas extremidades, o valor zero fica “entre” os valores das extremidades.
Verificação: a função x\mapsto \ln x é contínua em (0,\infty); as funções x\mapsto -x e x\mapsto 2 são contínuas em todo \mathbb{R}. Soma de funções contínuas é contínua, logo f é contínua em (0,\infty), em particular em [1,4]. Portanto a hipótese de continuidade está satisfeita.

Passo 3

Calcular f nas extremidades do intervalo para checar troca de sinal (isso é o núcleo do uso do Teorema de Bolzano).
Cálculo de f(1):
f(1)=\ln 1 - 1 + 2 = 0 - 1 + 2 = 1.
Logo f(1)=1>0.
Cálculo de f(4):
f(4)=\ln 4 - 4 + 2 = \ln 4 - 2.
Sabendo que \ln 4=\ln(2^2)=2\ln 2 e usando a aproximação \ln 2\approx 0,6931, obtemos
\ln 4 \approx 1,3863, \qquad f(4)\approx 1,3863 - 2 = -0,6137.
Portanto f(4)=\ln 4 - 2<0.

Passo 4

Aplicação do Teorema de Bolzano.
Como f é contínua em [1,4] e f(1)=1>0 enquanto f(4)=\ln 4 - 2<0, há uma troca de sinal nas extremidades. Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um c\in(1,4) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, existe pelo menos uma raiz em [1,4].

Passo 5

Agora verificar unicidade usando a derivada: ideia geral — se f' for estritamente negativa (ou positiva) no intervalo, então f é estritamente monótona e não pode ter mais de uma raiz.
Calcular a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x - x + 2)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.

Passo 6

Analisar o sinal de f'(x) em [1,4].
  • Para x\in(1,4] temos x>1 então 1-x<0 e x>0, portanto \dfrac{1-x}{x}<0. Assim f'(x)<0 para todo x\in(1,4].
  • Em x=1 temos f'(1)=\dfrac{1-1}{1}=0.
Conclusão sobre monotonicidade (explicação detalhada): para quaisquer a,b com 1\le a<b\le 4, o Teorema do Valor Médio garante existência de c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Como c\in(a,b)\subset(1,4], temos f'\text{(c)}<0, então \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}<0 e logo f(b)<f(a). Isso mostra que f é estritamente decrescente em [1,4]. (O fato de f'(1)=0 em um ponto isolado não impede a estrita decrescimento no intervalo como explicado pelo MVT.)

Passo 7

Conclusão sobre unicidade.
Se f é estritamente decrescente em [1,4], então não pode assumir o mesmo valor zero em dois pontos distintos do intervalo. Portanto a raiz encontrada por Bolzano é única.

Resposta

Existe pelo Teorema de Bolzano pelo menos uma raiz em [1,4].
A raiz é única, pois f'(x)=\dfrac{1-x}{x}<0 para todo x\in(1,4], o que torna f estritamente decrescente em [1,4].

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