Para cada função, calcule a derivada indicada: f(u, v)=cos (u+v^2) ; fu u v

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada parcial de terceira ordem da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Precisaremos calcular sucessivas derivadas em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de f(u, v) = cos(u + v^2) em relação a fu = partialpartial u cos(u + v^2) = -sin(u + v^2) cdot partialpartial u(u + v^2) , denotada por fu = -sin(u + v^2) cdot 1 = -sin(u + v^2) .
A função dada é:
Derivando em relação a :
Como a derivada de em relação a é 1:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de fu = -sin(u + v^2) em relação a fuu = partialpartial u ( -sin(u + v^2) ) = -cos(u + v^2) cdot partialpartial u(u + v^2) , ou seja, fuu = -cos(u + v^2) cdot 1 = -cos(u + v^2) .
A derivada encontrada anteriormente é:
Derivando novamente em relação a :
Novamente, a derivada de em relação a é 1:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de fuu = -cos(u + v^2) em relação a fuuv = partialpartial v ( -cos(u + v^2) ) = sin(u + v^2) cdot partialpartial v(u + v^2) , que nos dará fuuv = sin(u + v^2) cdot 2v = 2v sin(u + v^2) .
A segunda derivada encontrada é:
Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é :

Resposta

A derivada parcial fuuv = 2v sin(u + v^2) da função é:

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