Para cada função, calcule a derivada indicada: u(x, t)=t^-1 / 2 e^-x^2 / 4 t ; ux x

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de segunda ordem de u(x,t) em relação a x. O conteúdo aqui é diferenciação de funções que envolvem exponenciais e potências em t, usando a regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Primeiro encontrei u_x aplicando a regra da cadeia à exponencial. Como u(x,t) = t^{-1/2} \exp(-x^2/(4t)), temos
nux = t^-1/2 cdot expl(-tfracx^24tr)cdotl(-tfracx2tr) = -x2,t^3/2,expl(-tfracx^24tr)

Passo 3

Em seguida diferenciei u_x em relação a x usando regra do produto e cadeia. Se ux = -tfracx2t^3/2exp(-x^2/(4t)), então
nuxx = ddxl(-tfracx2t^3/2r)expl(-tfracx^24tr) + l(-tfracx2t^3/2r)ddxexpl(-tfracx^24tr)

Passo 4

Computei as derivadas:
ddxl(-tfracx2t^3/2r) = -12t^3/2, ddxexpl(-tfracx^24tr) = expl(-tfracx^24tr)cdotl(-tfracx2tr)

Passo 5

Substituindo e simplificando, obtém-se
nuxx = -12t^3/2expl(-tfracx^24tr) + x^24t^5/2expl(-tfracx^24tr)

Passo 6

Por fim, fatorando o expoente e combinando termos:
$$\nu_{xx} = \frac{x^2 - 2t}{4,t{5/2}},\exp\bigl(-\tfrac{x2}{4t}\bigr).
$$

Resposta

uxx(x,t)=x^2 - 2t4,t^5/2,e^-x^2/(4t)

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