Para cada função, calcule a derivada indicada:
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial de segunda ordem de u(x,t) em relação a x. O conteúdo aqui é diferenciação de funções que envolvem exponenciais e potências em t, usando a regra da cadeia e do produto.
Passo 2
Primeiro encontrei u_x aplicando a regra da cadeia à exponencial. Como u(x,t) = t^{-1/2} \exp(-x^2/(4t)), temos
Passo 3
Em seguida diferenciei u_x em relação a x usando regra do produto e cadeia. Se
, então
Passo 4
Computei as derivadas:
Passo 5
Substituindo e simplificando, obtém-se
Passo 6
Por fim, fatorando o expoente e combinando termos:
$$\nu_{xx} = \frac{x^2 - 2t}{4,t{5/2}},\exp\bigl(-\tfrac{x2}{4t}\bigr).
$$