Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: w=x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
w = x(x^2 + y^2 + z^2)^3/2.
O conteúdo envolve derivada parcial, usando regra do produto e da cadeia, pois w é produto de x por (x^2+y^2+z^2)^-3/2.

Passo 2

Para simplificar, definimos r^2 = x^2 + y^2 + z^2. Assim podemos reescrever
w = x,(r^2)^-3/2 = x,r^-3
Isso facilita aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Cálculo de partial w/partial x:
Aplicamos a regra do produto em w = xcdot r^-3:
  1. Derivada de x em relação a x é 1.
  2. Derivada de r^-3 em relação a x vem da cadeia: primeiro
ddr(r^-3) = -3r^-4,
depois dr/dx = x/r. Então
partialpartial x(r^-3) = -3r^-4cdot xr = -3x,r^-5
Juntando em w:
partial wpartial x = 1 cdot r^-3 + x cdot (-3x,r^-5) = r^-5(r^2 - 3x^2)

Passo 4

Cálculo de partial w/partial y:
Aqui x é tratada como constante, e só derivamos r^-3 em relação a y. Pelo mesmo raciocínio da cadeia,
partialpartial y(r^-3) = -3r^-4cdot yr = -3y,r^-5
Então
partial wpartial y = x cdot (-3y,r^-5) = -3xy,r^-5

Passo 5

Cálculo de partial w/partial z:
De modo análogo a y, x é constante e
partialpartial z(r^-3) = -3r^-4cdot zr = -3z,r^-5
Logo
partial wpartial z = x cdot (-3z,r^-5) = -3xz,r^-5

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = r^2 - 3x^2(x^2+y^2+z^2)^5/2,
partial wpartial y = -3xy(x^2+y^2+z^2)^5/2,
partial wpartial z = -3xz(x^2+y^2+z^2)^5/2

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