Para cada função, calcule a derivada indicada:
g(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 ; gx y z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ e precisamos calcular a derivada mista de terceira ordem $ g_{xyz} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como tomar derivadas de funções de várias variáveis, e fazer isso passo a passo para não ficar confuso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $, ou seja, $ g_x $. Quando derivamos uma função com várias variáveis em relação a uma delas, tratamos as outras como constantes. A função $ g $ é $ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $. A derivada de $ \sqrt{u} $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $, e por dentro temos $ u = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Então, aplicando a regra da cadeia:
g

Passo 3

Agora, vamos derivar $ g_x $ em relação a $ y $, ou seja, encontrar $ g_{xy} $. A expressão que temos é $ \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} $. Isso pode ser visto como $ x \cdot (x^{2} + y^{2} + z{2}){-1/2} $. Usamos a regra do produto e a regra da potência:
gx

Passo 4

Por fim, vamos derivar $ g_{xy} $ em relação a $ z $, ou seja, calcular $ g_{xyz} $. A expressão é $ -\frac{xy}{(x^{2} + y^{2} + z{2}){3/2}} $. Vamos aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia novamente. Diferenciando em relação a $ z $:
gxy

Resposta

A derivada mista $ g_{xyz} $ é:
gxyz

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