Considere F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2+x) um campo vetorial em R^2.
Se C2 é a elipse de equação x^216+y^29=1 orientada no sentido anti-horário, calcule a integral de linha de F ao longo de C2. Dica: Faça um esboço de C1 e C2 em um mesmo plano, use o item a) e o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (-yx^2+y^2, xx^2+y^2 + x) ao longo da elipse C2 definida por x^216+y^29=1, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área em campos vetoriais. Além disso, precisaremos entender como parametrizar a elipse e calcular integrais específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial F = (P, Q) e uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, a integral de linha ao redor de C é igual à integral dupla sobre D da seguinte expressão:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy
Vamos identificar P e Q no nosso caso:
P = -yx^2 + y^2 e Q = xx^2 + y^2 + x

Passo 3

Agora, precisamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y.
Primeiro, vamos derivar Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2 + y^2 + x ) = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 + 1 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 + 1 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 + 1
Agora, vamos derivar P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) = -(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Vamos agora calcular a diferença partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 + 1 ) - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 1
Isso simplifica bastante, já que a parte com as frações cancelou!

Passo 5

Com isso, a expressão do Teorema de Green fica:
ointC2 F cdot dr = integral duplaD 1 , dx, dy
Ou seja, a integral de linha é igual à área da região D delimitada pela curva C2.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da elipse C2 dada por x^216 + y^29 = 1.
A fórmula da área de uma elipse é:
Área = pi a b Á
Onde a e b são os semi-eixos maiores e menores, respectivamente. No nosso caso:
a = 4 (pois $16 = 4^2$) b = 3 (pois $9 = 3^2$)

Passo 7

Calculando a área:
Área = pi times 4 times 3 = 12pi Á
Portanto,
ointC2 F cdot dr = 12pi

Resposta

A integral de linha de F ao longo de C2 é igual a 12pi.

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