Considere
um campo vetorial em
.
Se
é a elipse de equação
orientada no sentido anti-horário, calcule a integral de linha de
ao longo de
. Dica: Faça um esboço de
e
em um mesmo plano, use o item a) e o Teorema de Green.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da elipse
definida por
, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área em campos vetoriais. Além disso, precisaremos entender como parametrizar a elipse e calcular integrais específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha ao redor de
é igual à integral dupla sobre
da seguinte expressão:
Vamos identificar
e
no nosso caso:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos agora calcular a diferença
:
Isso simplifica bastante, já que a parte com as frações cancelou!
Passo 5
Com isso, a expressão do Teorema de Green fica:
Ou seja, a integral de linha é igual à área da região
delimitada pela curva
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da elipse
dada por
.
A fórmula da área de uma elipse é:
Onde
e
são os semi-eixos maiores e menores, respectivamente. No nosso caso:
Passo 7
Calculando a área:
Portanto,
Resposta
A integral de linha de
ao longo de
é igual a
.