Para cada função, calcule a derivada indicada:
u(x, t)=t^-1 / 2 e^-x^2 / 4 t; ux t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,t)=t^-1/2e^-x^2/(4t)
e pede a derivada mista uxt=partialpartial tl(uxr). Para isso vamos primeiro calcular ux (derivada de u em relação a x) e em seguida diferenciar esse resultado em relação a t.

Passo 2

Para obter ux aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia em
u(x,t)=t^-1/2cdot e^-x^2/(4t)
Como t^-1/2 é constante em relação a x, temos
ux = t^-1/2,ddxl(e^-x^2/(4t)r) = t^-1/2,e^-x^2/(4t)cdotl(-x2tr) = -x2,t^3/2,e^-x^2/(4t)

Passo 3

Agora derivamos ux em relação a t. Seja
h(t)=t^-3/2e^-x^2/(4t),
de modo que
ux = -x2,h(t)
Aplicando a regra do produto em h(t)=t^-3/2cdot e^-x^2/(4t):
ddtl(t^-3/2r) = -32,t^-5/2, ddtl(e^-x^2/(4t)r) = e^-x^2/(4t)cdotx^24t^2
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h'(t) = -32,t^-5/2e^-x^2/(4t) + t^-3/2e^-x^2/(4t)cdotx^24t^2 = t^-7/2e^-x^2/(4t)l(x^24-32tr)
Portanto
uxt = -x2,h'(t) = -x2,t^-7/2e^-x^2/(4t)l(x^24-32tr) = x,(6t - x^2)8,t^7/2,e^-x^2/(4t)

Resposta

uxt = x,(6t - x^2)8,t^7/2,e^-x^24t

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