Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) (1.0 ponto) lim (x, y) (0,0) raiz[3]x yraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) raiz[3]x yraizx^2+y^2
Isso é um limite em duas variáveis. Para decidir se ele existe, vamos comparar resultados ao longo de caminhos diferentes que tendem a (0,0).

Passo 2

Considere o caminho x=0. Então
raiz[3]x yraizx^2+y^2 =raiz[3]0cdot yraiz0+y^2 =0|y| =0
Logo, ao aproximar por x=0, a expressão tende a 0.

Passo 3

Agora considere o caminho y=x. Então
raiz[3]x,xraizx^2+x^2 =raiz[3]x^2raiz2x^2 =|x|^2/3raiz2,|x| =1raiz2,|x|^-1/3
Quando xto0, temos |x|^-1/3to+infty. Portanto, ao longo de y=x a expressão tende a +infty.

Passo 4

Vimos que, ao longo de x=0, o limite é 0, mas ao longo de y=x o valor diverge para +infty. Como resultados diferentes surgem em caminhos distintos, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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