Para cada função, calcule f^prime(x) :
(g) ; f(x)=tg x cdot cotg x(sec x) e^x

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a derivada de f(x)=tan xcdotcot xsec x,e^x. O conteúdo envolve simplificação trigonométrica, regra do quociente (ou do produto) e derivadas de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Observando a parte trigonométrica, temos tan x=sin xcos x e cot x=cos xsin x, então tan xcdotcot x=1. Isso simplifica a função para
$$f(x)=\frac{1}{\sec x,e^x}=\cos x,e^{-x}.
$$

Passo 3

Para derivar f(x)=cos xcdot e^-x, usamos a regra do produto. Chamando u(x)=cos x e v(x)=e^-x, temos u'(x)=-sin x e v'(x)=-e^-x. Logo,
$$f’(x)=u’(x),v(x)+u(x),v’(x)=(-\sin x)e^{-x}+\cos x(-e^{-x}).
$$ Podemos fatorar f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)=(-sin x)e^-x+cos x(-e^-x) e o sinal negativo:
$$f’(x)=-e^{-x}(\sin x+\cos x).
$$

Resposta

f'(x)=-e^-x(sin x+cos x)

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