Pretende-se construir um galpão de um andar com área de 12.100 m^2. Necessita-se de um espaço livre na frente, de 25 m , nos fundos, de 20 m , e em cada um dos lados, de 12 m . Encontre as dimensões do menor lote em que o edifício pode ser construído.

Passo 1

Na questão, precisamos construir um galpão de área de 12100 m² em um lote que exige folgas de 25 m em frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. O objetivo é encontrar as dimensões do lote mínimo. Esse problema envolve otimização de função de duas variáveis com restrição de área, e usaremos derivada para achar o mínimo.

Passo 2

Definimos x como o comprimento do galpão e y como a largura do galpão. Então temos a restrição x·y = 12100. Como folgas totais, o lote terá comprimento x + 45 (25 + 20) e largura y + 24 (12 + 12). A área do lote é
A(x,y) = (x + 45)(y + 24)

Passo 3

Usando a restrição x·y = 12100, isolamos y = 12100/x e substituímos em A para obter uma função de uma variável:
A(x) = (x + 45)l(12100x + 24r)

Passo 4

Expandimos e simplificamos A(x) para facilitar a derivação. Podemos escrever
A(x) = (x+45)12100x + 24(x+45) = 12100 + 4512100x + 24x + 1080
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a x.

Passo 5

Calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 0 + 45(-)12100x^2 + 24 = 24 - 45cdot12100x^2 = 0
Logo,
x^2 = 45cdot1210024 = 22687,5
e
x = raiz22687,5 approx 150,62 m

Passo 6

Com x ≈ 150,62 m, obtemos
y = 12100x approx 12100150,62 approx 80,33 m,
que é a largura do galpão.

Passo 7

Finalmente, as dimensões do lote mínimo são:
• comprimento = x + 45 ≈ 150,62 + 45 = 195,62 m
• largura = y + 24 ≈ 80,33 + 24 = 104,33 m

Resposta

As dimensões do lote mínimo são aproximadamente 195,62 m de comprimento por 104,33 m de largura.

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