Encontre:
a, b, c e d, sabendo-se que a curva y=a x^3+b x^2+c x+d possui tangente horizontal no ponto (1, -8) e apresenta uma inflexão no ponto ( -1,8 ).

Passo 1

A gente tem uma cúbica y = a x³ + b x² + c x + d e precisa encontrar a, b, c e d sabendo que a reta tangente é horizontal em (1,−8) e que há inflexão em (−1,8). Então, vamos usar as derivadas primeira e segunda para impor essas condições.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas: a derivada primeira é
y' = 3a x^2 + 2b x + c
e a segunda derivada é
y'' = 6a x + 2b .

Passo 3

Para a tangente ser horizontal em (1,−8) temos duas condições: y(1) = −8 e y’(1) = 0. Substituindo x=1 em y(x) e y’(x) obtemos o sistema:
a + b + c + d = -8
3a + 2b + c = 0 .

Passo 4

Para o ponto de inflexão em (−1,8) precisamos de y(−1)=8 e y’’(−1)=0. Da segunda derivada:
y''(-1)=6a(-1)+2b = -6a +2b =0
o que dá b = 3a.

Passo 5

Com b = 3a, voltamos em y’(1)=0 para achar c: substituindo b temos
3a + 2(3a) + c = 0 ,Rightarrow,9a + c = 0 ,Rightarrow,c = -9a .

Passo 6

Agora substituímos b=3a e c=-9a na condição y(1)=−8:
a + 3a - 9a + d = -8 ,Rightarrow,-5a + d = -8 ,Rightarrow,d = -8 + 5a
e também em y(-1)=8 para determinar a:
(-1)^3 a + (-1)^2(3a) + (-1)(-9a) + d = 8
- a + 3a + 9a + (-8 +5a) =8
16a -8 = 8 ,Rightarrow,16a = 16 ,Rightarrow,a = 1 .
Com isso b=3, c=-9 e d = -8 +5·1 = -3.

Resposta

a = 1, b = 3, c = -9, d = -3

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