Encontre:
e
, sabendo-se que a curva
possui tangente horizontal no ponto (1, -8) e apresenta uma inflexão no ponto (
).
Passo 1
A gente tem uma cúbica y = a x³ + b x² + c x + d e precisa encontrar a, b, c e d sabendo que a reta tangente é horizontal em (1,−8) e que há inflexão em (−1,8). Então, vamos usar as derivadas primeira e segunda para impor essas condições.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas: a derivada primeira é
e a segunda derivada é
Passo 3
Para a tangente ser horizontal em (1,−8) temos duas condições: y(1) = −8 e y’(1) = 0. Substituindo x=1 em y(x) e y’(x) obtemos o sistema:
Passo 4
Para o ponto de inflexão em (−1,8) precisamos de y(−1)=8 e y’’(−1)=0. Da segunda derivada:
o que dá b = 3a.
Passo 5
Com b = 3a, voltamos em y’(1)=0 para achar c: substituindo b temos
Passo 6
Agora substituímos b=3a e c=-9a na condição y(1)=−8:
e também em y(-1)=8 para determinar a:
Com isso b=3, c=-9 e d = -8 +5·1 = -3.
Resposta
a = 1, b = 3, c = -9, d = -3