Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente à derivação de funções que são quocientes de duas outras funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, que é usada quando você tem uma função que é a divisão de duas funções diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que vão compor o quociente. Vamos chamar:
-
(a função do numerador) -
(a função do denominador)
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
separadamente.
Para
:
- A derivada de
é . - A derivada de
pode ser reescrita como , e usando a regra da potência, a derivada é .
Portanto,
.
Para
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto,
.
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Quociente, que diz que se
, então:
Vamos substituir as funções e suas derivadas na fórmula.
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, distribuímos
por
:
Somando esses termos:
Agora, multiplicamos
por
:
Somando esses termos:
Passo 7
Subtraímos os dois resultados obtidos no numerador:
Passo 8
Agora, colocando tudo de volta na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada da função é: