Determine a derivada das funções abaixo:
(f) ; f(x)=x+raiz[4]xx^2+3

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente à derivação de funções que são quocientes de duas outras funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, que é usada quando você tem uma função que é a divisão de duas funções diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função que vão compor o quociente. Vamos chamar:
  • (a função do numerador)
  • (a função do denominador)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.
Para :
  • A derivada de é .
  • A derivada de pode ser reescrita como , e usando a regra da potência, a derivada é .
Portanto, .
Para :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Portanto, .

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Quociente, que diz que se f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 , então:
Vamos substituir as funções e suas derivadas na fórmula.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = (1 + 14x^-3/4)(x^2 + 3) - (x + x^1/4) (2x) (x^2 + 3)^2

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, distribuímos 1 cdot x^2 = x^2 por 1 cdot 3 = 3 :
14x^-3/4 cdot x^2 = 14x^2 - 3/4 = 14x^5/4
14x^-3/4 cdot 3 = 34x^-3/4
x^2 + 3 + 14x^5/4 + 34x^-3/4
2x cdot x = 2x^2
Somando esses termos:
2x cdot x^1/4 = 2x^5/4
Agora, multiplicamos 2x^2 + 2x^5/4 por :
Somando esses termos:

Passo 7

Subtraímos os dois resultados obtidos no numerador:
(x^2 + 3 + 14x^5/4 + 34x^-3/4) - (2x^2 + 2x^5/4) = -x^2 + 3 - 74x^5/4 + 34x^-3/4

Passo 8

Agora, colocando tudo de volta na fórmula da derivada:
f'(x) = -x^2 + 3 - 74x^5/4 + 34x^-3/4 (x^2 + 3)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -x^2 + 3 - 74x^5/4 + 34x^-3/4 (x^2 + 3)^2

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