Para cada função, calcule f^prime(x) :
(h) ; f(x)=sen x+tg xcotg x+cos x

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=sin x+tan xcot x+cos x. Vamos usar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas ( sin x, tan x, cot x, cos x).

Passo 2

Calcular a derivada do numerador u(x)=sin x+tan x. Como ddx[sin x]=cos x e ddx[tan x]=sec^2 x, temos
u'(x)=cos x+sec^2 x.

Passo 3

Calcular a derivada do denominador v(x)=cot x+cos x. Como ddx[cot x]=-csc^2 x e ddx[cos x]=-sin x, obtemos
v'(x)=-csc^2 x-sin x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u,u',v,v' e lembrando que o sinal de menos em -u(x)v'(x) gera um +, ficamos com:

Passo 5

Chegamos, portanto, à expressão final
f'(x)=(cos x+sec^2 x)(cot x+cos x)+(sin x+tan x)(csc^2 x+sin x)(cot x+cos x)^2

Resposta

f'(x)=(cos x+sec^2 x)(cot x+cos x)+(sin x+tan x)(csc^2 x+sin x)(cot x+cos x)^2

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