Para cada função, calcule f^prime(x) :
(d) ; f(x)=x-3(3 x^2+1)(-x+3)+log x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função que é soma de uma expressão racional e de um logaritmo natural. O conteúdo principal envolve simplificação de expressões algébricas e aplicação das regras de derivação (regra da cadeia, derivada de quociente e derivada de ln). Vamos precisar fatorar, cancelar termos e depois derivar cada parcela.

Passo 2

Observando a parte racional temos:
x-3(3x^2+1)(-x+3)
Repare que -x+3=-(x-3), então
x-3(3x^2+1)(-x+3) = x-3(3x^2+1),[-(x-3)] = -x-3(3x^2+1)(x-3) = -13x^2+1, xneq3
Logo a função fica
$$
f(x) = -\frac{1}{3x^2+1} + \ln x.$$

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Para a primeira parcela usamos regra da cadeia em (3x^2+1)^-1:
ddxl(- (3x^2+1)^-1r) = -l(-1r)(3x^2+1)^-2cdot(6x) = 6x(3x^2+1)^2
E para a segunda parcela temos
ddx(ln x) = 1x
Somando os resultados, obtemos a derivada completa.

Resposta

f'(x)=6x(3x^2+1)^2+1x

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